中国北方春夏季田野调查报告
Chapter 13. Field Theory
13.1.
域的特征 \(\ch F\) 要么为质数要么为 \(0\)。\(1\) 张成的子域被称作素子域 prime subfield。但这都不是什么重要的东西。
域扩张 \(K/F\) 是指 \(K\) 拥有 \(F\) 作为子域，\(F\) 被称作该扩张的基域 base field，\(K\) 则可以直接称作 extension field。
\(K/F\) 意味着，通过 \(F\) 元素在 \(K\) 上点积，定义了一个元素为 \(K\) 中元素的线性空间。域扩张的阶数 degree 或者指数 index \([K:F]\) 即为该线性空间的维数。
域同态总是要么平凡 trivial（指所有元素均映到 \(0\)）要么单射，因此非平凡域同态总是引领了一个域扩张。
对于 \(F\) 上不可约多项式 \(p(x)\)，\(F[x]/(p(x))\) 是 \(F\) 的一个域扩张，在其中 \(p(x)\) 有根 \(\theta\) 为 \(x\) 在自然同态下的项。该域扩张存在基 \(1,\dots,\theta^{n-1}\)，\(F[x]/(p(x))=\{\sum f_i\theta^i\}\)，该扩张的指数为 \(n\)。
这个定理的核心是，给定不可约的 \(p(x)\)，证明存在 \(F\) 的扩域，其中包含 \(p\) 的根。
若 \(K/F\)，则对于 \(K\) 中元素 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，记 \(F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) 为 \(F\) 最小的包含 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 的扩张。\(F(\alpha)\) 称作单扩张 simple extension，\(\alpha\) 称作其本原元 primitive element。
对于在 \(F\) 上 irreducible 的 \(p(x)\)，若有根 \(\alpha\)（这个根显然不在 \(F\) 上而是在 \(K\) 中），则 \(F(\alpha)\cong F[x]/(p(x))\)。
证明比较神奇，通过构建 \(F[x]\to F(a)\) 的同态，这个同态有其相应的 induce homomorphism \(F[x]/(p(x))\to F(a)\)。
什么是 induce homomorphism？如果 \(\varphi:R\to R'\) 是一个同态，\(S,S'\) 是其各自的理想且满足 \(\varphi(S)\sube S'\)，则存在同态 \(R/S\to R'/S'\)。这可以被理解为，如果模 \(S\) 同余的东西 collapse 了那么模 \(\varphi(S)\) 同余的东西也应该 collapse；现在这里 \((p(x))\) 的像根本就是 \(0\) 所以右侧不用 collapse。进一步地，这也可以被理解为 \(F[x]/(p(x))\to F[x]/\Im\to F(a)\)，其中第一个是进一步 Collapse，第二个其实是因为满射的缘故，间接说明极小性。
这个定理的核心是，给定 \(p\) 的根，证明前述定理构造出的扩域恰好是包含该根的最小扩域。
扩域的最小性其实不明显，但是马上其实可以看到，\(p\) 其实 associate 一个极小多项式（只要把首项除掉就是极小的），\(p\) 的极小性确保扩域的最小性。
上述定理其实保证了根的不可区分性：\(p\) 所有根对应的单扩域都同构于 \(F[x]/(p(x))\)，自然根是不可区分的。区分根的是其连续性性质，也即在 范数空间 中的根是可区分的，然而绸带研究的不是番薯。
进一步地，若 \(F\cong F'\)，\(p(x)\in F[x]\) 被映到 \(p'(x)\in F'[x]\)，且二者均在其中不可约；令 \(\alpha,\beta\) 为二者在某扩张中的根，则 \(\sigma:F(\alpha)\to F'(\beta),\alpha\to\beta\) 是同构。虽然其与同一个域里的分析没有本质区别，因为同构的域就是同一个域。
13.2.
对于 \(F\) 的扩域 \(K\) 中的元，称其在 \(F\) 上是代数 algebraic 的 如果其是某个多项式的根，否则称其是超越 transcendental 的。代数扩域是所有元素都是代数元的扩域。
对于每个代数元，存在唯一的首一不可约多项式拥有其为根，记作 \(m_{\alpha,F}(x)\)。
从所有的不可约且有其为根的多项式（因为是代数元必然存在）中选择阶最小的任一个。用其作 Euc.Alg. 可以干掉所有阶比它大的，同时让阶和它一样的全部与它 associate，那么 monic 的就只有一个。
这个多项式被称作 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的 minimal polynomial 极小多项式，其阶数也被视作该代数元的阶数 degree。大扩域中的极小多项式必是小扩域中极小多项式的因式。
极小多项式即为恰好满足有 \(F[x]/(p(x))\cong F(\alpha)\) 之多项式。也即，\([F(\alpha):F]=\deg m_\alpha(x)=\deg\alpha\)。
代数元当且仅当其对应的单扩张是有限的。事实上，阶数为 \(n\) 的有限扩张中所有元素都是不超过 \(n\) 阶元，是 \(n\) 阶多项式根的元素是不超过 \(n\) 阶元。
这是因为，\(n\) 阶有限扩张中任意 \(n+1\) 个元素都可以以基域值为系数线性组合出零，因此 \(n\) 阶有限扩张中所有元素都可以是某个不超过 \(n\) 阶多项式的根。
推论：有限扩张都是代数扩张。
一些琐碎的关于扩张阶数的推论：
- \([L:F]=[L:K][K:F]\)。（\(L\) 中所有元都可以由 \(n\) 个 \(L\) 中的元以 \(K\) 中参数组出，\(K\) 中元可以由 \(m\) 个 \(K\) 元以 \(F\) 参数组出，于是这 \(n\) 个 \(L\) 元带上 \(m\) 个 \(K\) 元的系数共 \(nm\) 个元，带上 \(F\) 中系数可以组成一切）
- 推论：\([K:F]\mid[L:F]\)。
\(F(\alpha,\beta)=F(\alpha)(\beta)\)。因此令 \(F_0=F\)，\(F_i=F_{i-1}(\alpha_i)\)，\(F_n=K\)，则 \([K:F]=[F_1:F_0]\dots[F_n:F_{n-1}]\leq d_1\dots d_n\)，其中 \(d_i\) 为 \(\alpha_i\) 单独在 \(F\) 中的阶数。
有限扩域当且仅当其被有限个代数元生成。
有限个代数元生成的必是有限扩域。
反之，有限扩域可以找到有限个基底，依次扩入这些基底构成的扩域即为该有限扩域。
因此，代数元的加减乘除都是代数元（考虑仅包含牵扯到此二代数元的扩域，该扩域是有限扩域，其中包含加减乘除），进而代数元全体构成有限扩域。
代数扩域的代数扩域还是代数扩域。
总结：
不可约多项式扩域，扩出来含该多项式某个根的单代数扩域；至于含哪个根，因为不可约多项式的根之间没有代数区别，所以不在意。
代数元存在零化多项式和唯一的极小多项式，代数元引导的单代数扩域等效于该极小多项式引导的扩域。
有限扩张是存在有限基的扩张。代数扩张是所有元素的有限次幂中会出现线性相关的扩张；有限幂的初次线性相关对应了一个零化多项式，同时也是极小多项式，而更高阶线性相关对应着随意的一个零化多项式
有限基意味着超过基大小的元素集合必然存在线性相关，因此有限扩张中所有元素的阶均不超过扩张的阶，有限扩张必是代数扩张。
有限扩张可以被基描述，所以有限扩张可以被有限次针对基的单代数扩张描述，反之有限次单代数扩张必然得到有限扩张。
有限扩张重复还是有限扩张，代数重复还是代数。
两个域的结合域 composite field \(K_1K_2\) 是同时包含二者的最小域，且必有 \([K_1K_2:F]\leq[K_1:F][K_2:F]\)。因为大扩域的指数必然是小扩域指数的倍数，所以当两个小扩域的指数互质时，大扩域的指数必然是二者积。
13.4.
分裂域是包含一个多项式全体根的极小扩域。分裂域必存在，因为每次扩一个根即可得到包含全体根的某一扩域，因此取所有包含之的全体扩域交集即得分裂域。事实上，分裂域 exactly 正是扩所有根得到的扩域。
同构的域上某一多项式及其像的分裂域亦同构。这表明，某个多项式的分裂域在同构意义下是唯一的。
分裂域的一个有意义的性质，是所有 \(F\) 上不可约多项式，要么在分裂域上分解完全，要么在分裂域上仍然不可约。反之亦然：若有限扩张满足该性质，则其必然是某个多项式的分裂域。这同时也表明，分裂域的 composite 仍是分裂域（事实上生成新分裂域的多项式直接取诸旧分裂域的多项式之积即可）。把满足该性质（所有不可约多项式要么分解完全要么仍不可约）的扩张称作正规扩张 normal extension，则有限正规扩张必是分裂域。
一个域的代数闭包 \(\bar F\) algebraic closure 是该域的代数扩张，同时满足 \(F[x]\) 中所有多项式均在 \(\bar F\) 上完全分解。
代数闭域 algebraically closed field 是所有多项式均可完全分解的域。
……好吧，剩下的东西好像没啥用。代数闭包存在且唯一，\(\C\) 是代数闭域。
13.5.
可分多项式是无重根（该重根可能并非定义域中的重根）的多项式。如何判断可分性？对多项式求导。如果存在重根，则求导前后的多项式就会有非 \(1\) 的 \(\gcd\)。在任意域中对多项式求导的法则和在实数域求导法则相同。
也即，\(f(x)\) 和 \(f'(x)\) 同时有 \(\alpha\) 的极小多项式为因式是 \(\alpha\) 为重根的充要条件。
在特征为零的域中，不可约多项式均是可分多项式，因为不可约多项式若有重根，则必发生于 \(f'(x)\) 为零多项式的场合，而在零特征域中，\(0\) 总是不可能通过自加得到，因此首项 \(na_nx^{n-1}\) 便必然非零。进一步，全体可分多项式即为所有不 associate 的不可约多项式之积，因为不 associate 的不可约多项式不会有重根。【不可约多项式的根全体的极小多项式均唯一为该不可约多项式的 monic association】
在 \(p\)-特征域中，\(p\) 幂次项单项式的导数总是为零。进而，当一个不可约多项式的所有项次数均为 \(p\) 幂次时，其导数即会为零。进一步分析 \(p\)-特征域的性质。
首先，映射 \(a\to a^p\) 在 \(p\)-特征域上是同态；且因为此乃域同态，故而必是单射，被称作 Frobenius endomorphism。特别地，在 \(p\)-特征有限域上，此乃同构。这就会说明，当不可约多项式满足 \(p(x)=q(x^p)\)（若不可约多项式不可分，则其导函数必为零，而非零项中只有 \(p\) 幂次项的导数为零）时，其同样会进一步 \(=(r(x))^p\)，则有违其不可约性质，故而 \(p\)-特征有限域同样满足不可约多项式可分。
进一步，完美域 perfect field 是那些满足 \(F^p=F\) 也即所有元素均是 \(p\) 次剩余的域。零特征域和有限域总是完美域。可以发现，完美域即为那些满足不可约多项式均可分的域。
考虑一个不一定完美的 \(p\)-特征域，其中的不可约不可分多项式不断取 \(p\) 倍数的幂次，最终会唯一得到一个不可约可分多项式，该可分多项式的阶数被称作其 可分指数 separable degree \(\deg_sp(x)\)，而不断取 \(p\) 倍数幂次得到的效果 \(p^k\) 则被称作不可分指数 inseparable degree \(\deg_ip(x)\)。显然，有 \(\deg p(x)=\deg_sp(x)\deg_ip(x)\)。
一个扩张是可分的，如果其中所有元素均是可分多项式之根，换言之所有元素的极小多项式均是可分多项式。完美域的代数扩张都是可分扩张。
13.6.
Cyclotomic Polynomial 分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是根集合恰为所有 \(n\) 次原根的首一多项式。记 \(\zeta_n\) 为任一 \(n\) 次原根，则 \(\Phi_n(x)=\prod\limits_{1\leq d<n,d\perp n}(x-\zeta_n^d)\)。
\(x^n-1\) 的根集合恰为所有 \(n\) 次单位根，于是易知
在两侧分别取 \(\deg\) 可以得到
的性质。
已知对于质数 \(p\) 而言，\(\Phi_p(x)=x^{p-1}+\dots+1=\dfrac{x^p-1}{x-1}\)。然后可以递推得到全体 \(\Phi_n(x)\)。
分圆多项式都是 \(\Z[x]\) 上不可约多项式，因为：
假设 \(\Phi_n(x)\) 可约，则其可以被分为一个不可约因子 \(f(x)\) 和另一个因子 \(g(x)\)，二者均是首一的。假设 \(\zeta\) 是 \(f(x)\) 的一个根，则 \(f(x)\) 是 \(\zeta\) 的极小多项式。取与 \(n\) 互质的质数 \(p\)，则 \(\zeta^p\) 也是 \(\Phi_n(x)\) 的一个根，进而是 \(f(x)\) 的根或者 \(g(x)\) 的根。
假设其为 \(g(x)\) 的根，于是有 \(\zeta\) 为 \(g(x^p)\) 的根，则因为 \(f(x)\) 是 \(\zeta\) 的极小多项式所以满足 \(f(x)\mid g(x^p)\)，则 \(g(x^p)=f(x)h(x)\)。模 \(p\) 得到 \(\bar g(x^p)=\bar f(x)\bar h(x)\) 在 \(\Z_p\) 上生效；则 \(\bar g(x^p)\) 可以写成 \((\bar g(x))^p\)。因为 \(\Z_p[x]\) 是 UFD，所以 \(\bar f(x)\) 和 \(\bar g(x)\) 必然存在非 \(1\) 的 \(\gcd\)。进而，\(\Phi_n(x)=\bar f(x)\bar g(x)\) 必然在 \(\Z_p\) 上存在重根，然而因为 \(p\nmid n\) 所以 \(x^n-1\) 在 \(\Z_p\) 有 \(n\) 个不等根，因此 \(\Phi_n(x)\) 必然无重根，出现矛盾，因此 \(\zeta^p\) 必须为 \(f(x)\) 的根。每次乘一个与 \(n\) 互质的质数，可知所有与 \(n\) 互质的 \(d\) 都满足 \(\zeta^d\) 的 \(f(x)\) 的根，因而 \(f(x)=\Phi_n(x)\)，\(\Phi_n(x)\) 必然不可约。
进而 \(\Phi_n(x)\) 是一切原根的极小多项式，\([\Q(\zeta_n):\Q]=\varphi(n)\)。
Chapter 14. Galois Theory
14.1.
域到自身的自同态固定 fix 一个元素，如果该元素在同态下不变。fix 一个集合，如果该集合中所有元素均在同态下不变。全体自同态形成一个群，这个群的所有子群都 fix 域中的若干元素，且被该子群 fix 的元素成域。特别地，因为任意自同态必须 fix \(1\)，所以任意自同态必然 fix \(1\) 张成的子域，也即 prime field。
给定一个子域，可以找到那些 fix 其的自同态，记作 \(\Aut(K/F)\)。显然，当 \(F\) 是素域时，有 \(\Aut(K/F)=\Aut(K)\)。易验证 \(\Aut(K/F)\) 是 \(\Aut(K)\) 的子群。
有一个性质，是对于 \(\sigma\in\Aut(K/F)\)，若 \(\alpha\) 是 \(K\) 中的一个代数元，则 \(\sigma\alpha\) 是 \(\alpha\) 对应极小多项式的另一个根：直接对极小多项式作用 \(\sigma\)，则因为 \(\sigma\) fix \(F\) 所以 \(\sigma\alpha\) 亦是根。这可以被用于列举自同态，此时往往取 \(F\) 为 \(K\) 的素域。
给定自同态子群 \(H\)，其对应的 fix field 就是那些被其 fix 的元素构成的子域。
显然，自同态群的子群与子域的转化，是保持包含关系的。然而，二者不一定是一对一的包含关系：有可能较小的子群和较大的子群对应同一个子域，反之亦然。
一个衡量二者联系的关系是，若 \(E\) 是 \(F\) 上某个多项式的 splitting field，则 \(|\Aut(E/F)|\leq[E:F]\)。特别地，如果该多项式是可分的，则必然取等【但是取等无法推出可分】。事实上，进一步可以证明，就算 \(E\) 不是分裂域，此式仍成立。
满足 \(|\Aut(E/F)|=[E:F]\) 的有限扩张被称作 Galois 扩张，此时 \(E\) 被称作在 \(F\) 上 Galois。对于 Galois 扩张，\(\Aut(E/F)\) 被称作该扩张的 Galois 群，记作 \(\Gal(E/F)\)。如果 \(E\) 是可分多项式的分裂域，则该扩张必是 Galois 的，因此可分多项式 \(f(x)\) 的 Galois 群即为其对应的 Galois 扩张的 Galois 群。
14.2.
定义群特征标 character of a group 是 \(\chi:G\to L^\times\)，其中 \(L\) 是一个域。也即，满足 \(\chi(g_1g_2)=\chi(g_1)\chi(g_2)\) 且 \(\chi(g)\neq0\)。
线性无关的 characters，是对于一切非全零的 \(a_1,\dots,a_n\in L\)，都存在 \(g\) 使得 \(a_1\chi_1(g)+\dots+a_n\chi_n(g)\neq0\)。
一个很牛的事实是，只要 \(\chi_1,\dots,\chi_n\) 两两不同，则它们即线性相关。
考虑 \(a_1,\dots,a_n\) 是非全零的系数，且非零元数目最少的一组系数。则取出其中非零元并用 \(1\sim m\) 重标号，则必有 \(m\geq2\)。因为 \(\chi_1\neq \chi_m\) 所以可以取 \(g_0\) 使得 \(\chi_1(g_0)\neq\chi_m(g_0)\)，则对于一切 \(g\)，均有
\[a_1\chi_1(g)\chi_1(g_0)+\dots+a_m\chi_m(g)\chi_m(g_0)=0 \]同时有
\[a_1\chi_1(g)\chi_1(g_0)+\dots+a_m\chi_m(g)\chi_1(g_0)=0 \]相减可以消去第一项，得到非零元数目更少的一组系数。因此矛盾。
域 \(K\) 至域 \(L\) 的单同态，可以被看作是 \(K\) 至 \(L\) 的 embedding 嵌入。该映射可以被看作是 \(K^\times\) 至 \(L^\times\) 的同态，也即可以被看作 \(K^\times\) 上的一个 character：给定映射可以唯一确定该 character，反之 character 仅仅没有记述同态中 \(0\) 的信息，而 \(0\) 必然被映到 \(0\)，所以给定 character 可以反推映射。则对于 \(K\) 至 \(L\) 的若干不同的单同态，它们在 character 意义下是彼此线性无关的；特别地，\(K\) 上自同构在 character 意义下也是彼此线性无关的。
运用 character 的结论，可以得到如下优秀的定理：对于自同构群的有限子群 \(G=\{\sigma_1=1,\sigma_2,\dots,\sigma_n\}\)，令 \(F\) 为其固定域 fixed field，则 \([K:F]=n=|G|\)。
首先，若 \(n>[K:F]\)，则取 \(K\) 在 \(F\) 上的一组基 \(\omega_1,\dots,\omega_m\)，其中 \(m=[K:F]\)。\(m\) 行 \(n\) 列矩阵 \([\sigma_j(\omega_i)]\) 的零空间中必然包含一个非零向量 \(\beta\)。取系数 \(a_1,\dots,a_m\) 乘到每一行，因为 \(\sigma\) 固定 \(F\) 所以系数可以被移到 \(\sigma\) 的括号内，然后对矩阵的所有行求和，则记 \(\alpha=\sum a_i\omega_i\) 则有 \(\sum\sigma_j(\alpha)\beta_j=0\)，因为 \(\alpha\) 可以取一切值，这就说明 \(\sigma_j\) 彼此通过系数 \(\beta_j\) 线性相关，与上述 character 结论不符。
反之，若 \(n<[K:F]\)，则可以找到 \(K\) 中 \(n+1\) 个线性无关变量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1}\)，则矩阵 \([\sigma_i(\alpha_j)]\) 有非零解 \(\beta\)。若 \(\beta\) 的所有元素都是 \(F\) 上元素，则恒同映射 \(\sigma_1\) 会让 \(\alpha\) 在 \(F\) 上关于系数 \(\beta\) 线性相关，因此 \(\beta\) 并非所有元素都是 \(F\) 上元素。取所有 \(\beta\) 中非零元数目最少的一个，重排使得其为 \(\beta_1,\dots,\beta_r\)，同除以 \(\beta_r\) 令 \(\beta_r=1\)，假定 \(\beta_1\notin F\)，则 \(n\times r\) 矩阵 \([\sigma_i(\alpha_j)]\) 关于 \(\beta\) 为零。也即，\(\sigma_i(\alpha_1)\beta_1+\dots+\sigma_i(\alpha_{r-1})\beta_{r-1}+\sigma_i(\alpha_r)=0\) 关于一切 \(i\) 均成立。
因为 \(\beta_1\notin F\)，所以存在一个 \(\sigma_{k_0}\) 满足 \(\sigma_{k_0}\beta_1\neq\beta_1\)。将 \(\sigma_{k_0}\) 作用于一切上式，可得 \(\sigma_{k_0}\sigma_i(\alpha_1)\sigma_{k_0}(\beta_1)+\dots+\sigma_{k_0}\sigma_i(\alpha_{r-1})\sigma_{k_0}(\beta_{r-1})+\sigma_{k_0}\sigma_i(\alpha_r)=0\)。因为 \(\sigma\) 成群，所以其可以被重写为 \(\sigma_i(\alpha_1)\sigma_{k_0}(\beta_1)+\dots+\sigma_i(\alpha_{r-1})\sigma_{k_0}(\beta_{r-1})+\sigma_i(\alpha_r)=0\) 对一切 \(i\) 成立。然而相减可以得到 \(\sigma_{k_0}(\beta_1)-\beta_1\) 一项非零，但是最后一项 \(\sigma_i(\alpha_r)\) 全部被消掉，得到一个非零元更少的解，产生矛盾，因此不合法。
综上，必然有 \(n=[K:F]\)。
- idea 是，\(n\) 太大则 \(\sigma\) 无法履行线性无关的承诺；\(n\) 太小则扩张中数目足够的线性无关量会被禁止。
推论即有，\(\Aut(K/F)\leq[K:F]\) 对于一切 \(F\) 成立，且取等当且仅当 \(F\) 恰为 \(\Aut(K/F)\) 的固定域。同时，对于 \(G\)，其固定域 \(F\) 必然对应着 Galois 扩张 \(K/F\)，且 \(\Gal(K/F)=G\)，这就表明 \(G\) 是固定 \(F\) 的最大域，所有固定 \(F\) 的自同构都包含于 \(G\)，因此若两个自同构子群拥有相同的固定域则二者互相包含进而相等，也即不同的自同构子群对应着不同的固定域。
定理：一个扩张是 Galois 的，当且仅当其是可分多项式的分裂域。
首先，已知可分多项式的分裂域必然满足 \(\Aut(K/F)=[K:F]\)，进而 \(K/F\) 是 Galois 扩张。
然后，试证明 Galois 扩张 \(K/F\) 必然是正规扩张，即所有 \(F\) 上不可约多项式要么分解完全要么仍不可约：
令 \(G=\Gal(K/F)=\{\sigma_1=1,\dots,\sigma_n\}\)，则取不可约多项式 \(p(x)\) 在 \(K\) 上根 \(\alpha\)，则考虑 \(\alpha,\sigma_2\alpha,\dots,\sigma_n\alpha\)，取出其中不同的元 \(\alpha_1=\alpha,\alpha_2,\dots,\alpha_r\)，则 \(G\) 中的任意元 \(\tau\) 仅仅会 permute \(\alpha_i\)。令 \(f(x)=\prod(x-\alpha_i)\)，则 \(f(x)\) 在 \(\tau\) 下不动，因此 \(f(x)\in F[x]\)。
\(p(x)\) 是不可约多项式，因此是 \(\alpha\) 的最小多项式；\(f(x)\) 有 \(\alpha\) 为根，因此有 \(p(x)\mid f(x)\)；而显然有 \(f(x)\mid p(x)\)，因此 \(f(x)=p(x)\)，则 \(p(x)\) 无重根。
有限正规扩张必是某个可分多项式的分裂域。
令 \(K/F\) 是 Galois 扩张。对于 \(\alpha\in K\)， 考虑 \(\sigma\in\Gal(K/F)\)，则 \(\sigma\alpha\) 被称作 \(\alpha\) 关于 \(F\) 的共轭 conjugate。对于中间域 \(E\)（也即 \(K/E/F\) 是扩张链），有 \(\sigma(E)\) 被称作 \(E\) 关于 \(F\) 的一个共轭域 conjugate field。
由轨道-稳定子定理，本质不同的共轭数目必然是 Galois 群阶的因数，且每种共轭可以达到的方案数是 \(n\) 除以共轭数目。
Galois 扩张中，任意 \(\alpha\) 的最小多项式的全体根，即为 \(\alpha\) 的全体不等共轭。
这种分析是用以求某个元素的最小多项式的一种方法：即寻找求出包含该元素的任一 Galois 扩张，在其中找到其全体共轭。
总结：Galois 扩张的四种等价定义：
- 可分多项式的分裂域。
- 扩张的基域是某个自同构子群（也即 \(\Aut(K/F)\)）的固定域。
- 满足 \([K:F]=|\Aut(K/F)|\) 的扩张。
- 有限、正规、可分扩张。
Fundamental Theorem of Galois Theory：对于 Galois 扩张 \(K/F\)，令 \(G=\Gal(K/F)\)，则：
- 存在 \(K/F\) 的中间域，与 \(G\) 的子群间的双射；中间域通过取 \(\Aut(K/E)\) 来映到 \(G\) 的子群，子群通过求固定域映到中间域。
- 对应保持反包含关系。
- 令 \(E\) 映到 \(H\)，则 \([K:E]=|H|\) 且 \([E:F]=|G:H|\)。
- \(K/E\) 总是 Galois 的，且 \(\Gal(K/E)=H\)。
- \(E/F\) 是 Galois 的，当且仅当 \(H\unlhd G\)。此时，有 \(\Gal(E/F)\cong G/H\)，其中某个元素 \(\sigma\) 映到陪集 \(\sigma H\)。
- 若 \(E_1,E_2\) 映到 \(H_1,H_2\)，则 \(E_1\cap E_2\) 映到 \(\lang H_1,H_2\rang\)，\(E_1E_2\) 映到 \(H_1\cap H_2\)。也即，作 \(K/F\) 和其中间域的 diagram 与 \(G\) 和其子群的 diagram 可以被重排使得一个是另一个的倒置。
14.4.
若 \(K/F\) 是 Galois 扩张，\(F'/F\) 是任意扩张，则 \(KF'/F\) 是 Galois 扩张，且 \(\Gal(KF'/F')\cong\Gal(K/K\cap F')\)。图样类似第二同构定理。
\(K\) 是可分多项式 \(f\) 的分裂域；\(f\) 是 \(F\) 上可分多项式，更是 \(F'\) 上可分多项式，因此 \(KF'/F'\) 是 \(f\) 分裂域，进而是 Galois 扩张。
同构可以构造映射证明。
另一个友好的结论是，当 \(K\) 和 \(F'\) 中至少有一个是 Galois 扩张时，
这是因为，
特别地，此式在两个扩张均非 Galois 时不成立，典型例子例如 \(K=\Q(\sqrt[3]2),F'=\Q(\rho\sqrt[3]2)\)：此时 \([KF':F]=6\) 而 \([K:F],[F':F]\) 都是 \(3\)。
两个 Galois 扩张的交与并有一些互动：对于 \(K_1,K_2\) 是 \(F\) 的 Galois 扩张，\(K_1\cap K_2\)，\(K_1K_2\) 都是 \(F\) 的 Galois 扩张。【原因：正规、可分扩张分别的继承性】
推论：当 \(K_1\cap K_2=F\) 时，\(\Gal(K_1K_2/F)\cong\Gal(K_1/F)\times\Gal(K_2/F)\)。反之，如果 \(\Gal(K/F)\cong G_1\times G_2\)，则存在 \(K_1,K_2\) 使得 \(K=K_1K_2\) 且 \(K_1\cap K_2=F\)。
14.6.
对于任意 separable \(f(x)\)，令其有根 \(x_1,\dots,x_n\)。\(f(x)\) 引导的 Galois 扩域，其上 Galois 群中的任一映射均起到 permute \(x_i\) 的效果。显然其是单射，因此 \(\Gal(K/F)\hookrightarrow S_n\)，也即其可以嵌入所有 \(x_i\) 上的对称群。进一步，若 \(f(x)\) 可以被拆作阶为 \(n_1,\dots,n_k\) 的 irreducible，则所有 irreducible factor 对应的扩张都是 Galois 的且两两交为 \(F\)，故 \(f(x)\) 的 Galois 群同构于所有 factor 群的直积，于是有 \(\Gal(K/F)\hookrightarrow S_{n_1}\times S_{n_2}\times\dots\times S_{n_k}\)。
问：对于每个有限群，其是否是某个多项式的 Galois 群？答曰：未知。
对于未定元 \(x_1,\dots,x_n\)，基础对称函数 elementary symmetric function \(s_1,\dots,s_n\) 是所有 \(i\) 元积求和，也即 \(s_i=\sum\limits_{|S|=i}\prod\limits_{j\in S}x_j\)。
一个一般的 \(n\) 次多项式 general polynomial of degree \(n\) 是 \((x-x_1)\dots(x-x_n)\)，其中 \(x_1,\dots,x_n\) 是未定元。易知 \(\prod(x-x_i)=\sum(-1)^is_i\)。也即，general polynomial 属于 \(F(s_1,\dots,s_n)\)。
按照前述分析，显然 \(F(x_1,\dots,x_n)/F(s_1,\dots,s_n)\) 是 Galois 扩张。特别地，\(F(s_1,\dots,s_n)\) 是 \(S_n\) 作用在 \(F(x_1,\dots,x_n)\) 时的固定域，也即该 Galois 扩张的 Galois 群是 \(S_n\)。
多项式被称作对称的，如果其在 \(S_n\) 上不变，也即属于 \(F(s_1,\dots,s_n)\)。这被称作 对称多项式基本定理：即对称多项式必然可以写成 \(s_1,\dots,s_n\) 的多项式。例如，\((x_1-x_2)^2\) 是对称多项式，其是 \(s_1^2-4s_2\)。
判别式 discriminant \(D=\prod\limits_{i<j}(x_i-x_j)^2\)。易知 discriminant 是 symmetric 的，故其属于 \(F(s_1,\dots,s_n)\)。一个多项式的 discriminant 是其所有根上的 discriminant；易知，多项式的 discriminant 可以判定多项式是否可分。特别地，在完美域上，\(D=0\) 推出可约，因为完美域上的不可约多项式都是可分的。
\(A_n\) 由那些固定 \(\sqrt D=\prod\limits_{i<j}(x_i-x_j)\) 的元素构成，而当 \(F\) 的特征非 \(2\) 时其即为固定 \(\sqrt D\) 的全体。故而，由 Fun-Gal 可知，如果 \(F\) 有非 \(2\) 的特征，则 \(\sqrt D\) 生成了 \(F(s_1,\dots,s_n)\) 的一个 \(2\)-扩域（或称 quadratic 扩张），其固定域为 \(A_n\)。
现在考虑 \(F\) 上的任意多项式 \(f(x)\)，令其有根集合 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)。
因为我们本章的目的是证明 \(\Q\) 上的五次多项式方程无根式解，所以我们考虑 \(F\) 为完美域的场合，此时任意多项式的分裂域与其根去重后多项式的分裂域完全相同，故以下考虑根集合中无重复元。
则因为 \(f(x)\) 在 \(F\) 上，所以 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 上的基础对称函数 \(s_1,\dots,s_n\) 全部属于 \(f(x)\)，进而依照上述结论必有 \(D\in F\)。进而，\(D\) 可以被写成 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 的多项式，其中所有系数均是 \(s_1,\dots,s_n\) 的某种组合，也即 \(f(x)\) 系数的某种组合。
\(f(x)\) 的 Galois 群是 \(S_n\) 的子群。事实上，当且仅当 \(D\) 是 \(F\) 上的平方元，\(f(x)\) 的 Galois 群是 \(A_n\) 的子群。该性质，与 \(D=0\) 等价于不可分，共同说明为何 \(D\) 被称作 discriminant 判别式。
【\(D\) 是平方元意味着 \(F\) 太大了以至于 \(\sqrt D\) 也被包括其中，\(F\) 大了，其对应的 Gal 群就只能小了】
二次多项式 \(x^2+ax+b\) 的 discriminant 为 \(a^2-4b\)。无重根（可分）当且仅当 \(a^2-4b=0\)。
三次的 discriminant 是 \(a^2b^2-4b^3-4a^3c-27c^2+18abc\)。
- 若 \(f(x)\) reducible，则其被 reduce into 三个 linear factor 则 Gal 群是平凡群；一个 linear 和一个 quadratic 则 Gal 群是 \(S_2\)；irreducible，则当 \(D\) 是平方元时 Gal 群为 \(A_3\)，非平方元时 Gal 群为 \(S_3\)。
Fun-Alg: \(\C\) 是代数闭域。
这等价于，证明任意复系数多项式有至少一根。
事实：
- 实系数奇次多项式总有至少一实根。【此式的证明依赖于微积分，故并非代数的】
- 复系数二次多项式的两根均是 \(\C\) 中根。
\(f(x)\) 在 \(\C\) 中有根，当且仅当 \(\overline{f(x)}\) 在 \(\C\) 中有根。而 \(f(x)\overline{f(x)}\) 是实系数偶次多项式。因此证明所有实系数多项式总有至少一复根即可。
令 \(n=2^km\)，其中 \(m\) 是奇数。
当 \(k=0\) 时，已知其有实根。当 \(k\geq1\)：
令根为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，令 \(K=\R(\alpha_1,\dots,\alpha_n,i)\)，则 \(K\) 是 \(\R\) 的 Galois 扩张，因为 \(\R\) 是完美域且 \(K\) 是 \(f(x)\times(x^2+1)\) 的分裂域，完美域上的分裂域即为 Galois 扩域。\(K\) 包含 \(\C\) 与 \(f(x)\) 的全体根。
令 \(l(t)=\prod(x-\alpha_i-\alpha_j-t\alpha_i\alpha_j)\)，则 \(\Gal(K/\R)\) 中的 \(\sigma\) permute \(l(t)\) 的项，所以 \(l(t)\in\R[x]\)。degree of \(l(t)\) 是 \(2^{k-1}m(2^km-1)\)，则某一 \(\alpha_i+\alpha_j+t\alpha_i\alpha_j\in\C\)，而 \(\alpha_i,\alpha_j\) 是二次多项式的根，因此其落于 \(\C\) 中。
14.7.
Cyclic 扩张是有着循环 Galois 群的扩张。
对于一个有 \(n\) 次单位根且特征非 \(n\) 因数的域，扩张 \(F(\sqrt[n]a)\) 是 \(F\) 上循环扩张，其阶为 \(n\) 因数。
既然 \(F\) 有 \(n\) 次单位根，那么 \(F(\sqrt[n]a)\) 即为 \(x^n-a\) 的分裂域。所有 Gal 群中的元素都表现为 \(x^n-a\) 根上的一个循环，因此 Gal 群是 \(x^n-a\) 根上循环群的子群。
反之，若循环扩张的阶 \(n\) 并非拥有特征为因数，则其必然可以写成某个 \(F(\sqrt[n]a)\)。
以下考虑 \(\ch F=0\) 的场合。
\(F\) 上代数元 \(\alpha\) can be expressed by radicals，或称 solved for in terms of radicals 根式可解，如果 \(\alpha\) 是 \(F\) 的扩张 \(K\) 中的元素，其中 \(K\) 是一个 simple radical extension 单根式扩域的复合。
也即，\(F=K_0\sub K_1\sub\dots\sub K_n=K\)，其中每一步扩张均是 simple radical extension。
这样的 \(K\) 被称作 \(F\) 的根扩张 root extension。
一个多项式被认为是根式可解的，如果其所有根均根式可解。
根扩张 \(K/F\) 不一定是 Galois 的。但是其可以被进一步扩张，使得每一步扩张均是 cyclic 的（因为 \(\ch F=0\) 所以每一步均为单根式扩张），且最终仍得到根扩张，且该根扩张是 Galois 的。这是通过取 cyclotomic field \(F'\)，即 \(F(\zeta_1,\zeta_2,\dots)\)，然后用 \(KF'/F\) 得到的。
因此有最终定理：多项式根式可解，当且仅当其 Gal 群是可解群。这是因为可解群存在可解群列，其中每个商群都是循环群，恰好与循环的根式扩张列一一对应。
于是，五次及以上的一般多项式，因为其 Gal 群是 \(S_n\) 故不可解了。
附：如何求一个多项式的 Gal 群？
例：\(x^5-6x+3\)。作图可知其有三实根、两复根。则其可以被拆作两个实多项式之积，一个是三次的、根为三实根；一个是二次的，根为两复根。
其分裂域 \(K\)，满足 \([K:\Q]\) 必然有 \(5\) 为因子，因此其 Gal 群的阶必有 \(5\) 为因子，故其 Gal 群包含 \(\Z/5\Z\) 为子群。同时，其两复根可以被互换，因此其 Gal 群包含 \(\Z/2\Z\) 为子群。\(S_5\) 包含 \(\Z_5\) 和 \(\Z_2\) 的唯一子群即为其本身。
要注意，一个 \(n\) 阶多项式的 Gal 群的阶有 \(n\) 作因子，是在多项式 irreducible 的场合才成立的；reducible 时，要先将其 reduce 后，用 \(\Gal(K_1K_2/F)\cong\Gal(K_1/F)\times\Gal(K_2/F)\)（前提是 \(K_1\cap K_2=F\)）的方法解决。
特别地，二次多项式的扩域就是 \(\Q(\sqrt D)\)。如何计算 discriminant？首先假定多项式 irreducible 且 monic。三次的场合，令根为 \(\alpha,\beta,\gamma\)，则 \(D=f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)\)（注意这仅在三次时生效）然后展开最终可知 \(D=-4p^3-27q^2\)，其中 \(f(x)=x^3+px+q\)，通过换元干掉二次项。
三次 irreducible 的 Gal 群阶必然有 \(3\) 作因子，因此视 \(D\) 是否是 \(\Q\) 上完全平方，其 Gal 群可以为 \(A_4\)（若是平方）或 \(S_4\)（若非平方）。
四次，若 reducible into two quadratic，则视二者的 \(D_1,D_2\) 是否差一个完全平方，而有 Gal 群是 \(K_4=\Z_2\times\Z_2\) 还是单独的 \(\Z_2\)。否则，若 irreducible，则全体可能的 Gal 群，为 \(S_4,A_4,D_8,K_4,C=\{1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3\}\)。
事实上，四次整系数多项式，待定系数证明不可约性是一个很牛的方法。这是因为，由 Gauss Lemma，\(\Z[x]\) 中不可约多项式在 \(\Q[x]\) 中亦不可约，而在 \(\Z[x]\) 中设其分解为 \((x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\) 时，\(b,d\) 必须为 \(f(x)\) 常数项因数，因而是亦验证的。
模 \(p\) 约化方法也是一个很牛的方法。具体而言，假如在 UFD \((\Z/p\Z)[x]\)（前提是 \(p\) 与最高次项系数互质；而这往往是易知的，因为我们经常是在研究 monic 多项式）下，一个多项式被唯一分解为若干 irreducible factor 的积，则 \(\Z\) 中的分解必然是取若干个 factor 乘积，作为一个 irreducible。这意味着，四次多项式的场合，如果模某个质数分解为一次多项式和三次多项式，则该四次多项式不可能以分解为两二次多项式之积的方式可约。
进一步，有 模 \(p\) 约化定理：对于 monic、separable 且整系数多项式，若 \(p\) 为与其 discriminant 互素的质数（此时在模 \(p\) 意义下其必然仍 separable；不过也可以手动验证，只需保证其在模 \(p\) 下可分即可），则 \(\Gal(\bar f(x),\Z_p)\) 是 \(\Gal(f(x),\Q)\) 的子群。这意味着，通过检验各种 \(p\) 寻找特征结构，可以较好地求出 Galois 群。
特别地，简易方法是，考虑 \(\bar f(x)\) 被拆作的各个 factor 的阶，假如是 \(n_1,n_2,\dots,n_k\) 阶的，则这表明 \(\Gal(f(x))\) 有一个可以被写作 \(G_{n_1}\times G_{n_2}\times\dots\times G_{n_k}\)，其中 \(G_x\) 是 \(S_x\) 的子群，而并非所有群都存在所有的拆分方式的。例如，同时可以被拆作 \(G_2\times G_3\) 和 \(G_1\times G_4\) 的 \(S_5\) 子群只有 \(S_5\) 一个。
这种约化方式可以被用于证明 Gal 群是 \(S_n\) 或 \(A_n\)（\(A_n\) 的场合要结合 discriminant），但是无法证明 Gal 群是小群，因为不可能枚举全体 \(p\) 约化。
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