随笔分类 - 数论——容斥与排列组合计数
摘要：VI.[AGC038E] Gachapon 因为模型同III.重返现世长得很像，所以我们也来考虑minmax容斥。 首先，我们仍然翻出式子 \(\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\min(\m
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摘要：本文绝大部分内容来自《混凝土数学》 在被多项式爆踩的时候，我偶然发现了《混凝土数学》这本书，然后兴冲冲入手，一看啥都不会，于是就只能在这里带着推推柿子，尝试理解理解，也方便以后复习。 （本文略过了大部分对OI无用的芝士，可以放心食用） （顺带一提这略掉的东西可能还有点多） 现在开始！ I.下降幂与上
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摘要：I.YY的GCD 这就是莫比乌斯反演？咋长得不像呢？ 我们看一下式子： \(ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)\ is\ prime]\)。其中方括号相当于强制把方括号内的东西转成$bool$形。 完蛋了，这个里面看不到任何函数，
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摘要：1.莫比乌斯函数与莫比乌斯反演 O.约定 \(\color{white}\colorbox{red}{本blog中所有的分数，无论有无下取整符号，均默认下取整。}\) 主要是因为我太懒了，下取整符号的$\LaTeX$表达式太长了 I.作用 设有一函数$g(n)=\sum\limits_{d|n}f(
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摘要：XVII.[SDOI2017]龙与地下城 本题在模意义下和实数意义下，小范围和大范围下各有几种做法。 我们此处定义有$n$个骰子，每个骰子有$m$面。 小数据范围 明显发现它就是$f(x)=\frac{\sum\limits_xi}$的$n$次方。 于是直接倍增计算快速幂即可。时间复杂度$O(nm\
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摘要：XIV.[JXOI2018]排序问题 本题好像又不算期望罢…… 根据一些简单的推理，我们发现最终答案就是 \(\dfrac{(n+m)!}{\prod\limits_{i}cnt_i!}\) 其中$cnt_i$表示有多少个数是$i$。（这很简单，因为只有每个位置一一对应才能排序成功；但是值相同的数之
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摘要：XIII.[JXOI2018]游戏 这题好像根本不算概率期望罢…… 我们考虑$[l,r]$中，如果删去了区间中所有不是区间中其他任何数的倍数的数，则整个区间内所有的数都会被删去；反之，假如剩下了某些不是区间中其他任何数的倍数的数，则此区间一定不会被全部删完。 于是我们考虑求出区间中上述数的个数。考虑
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摘要：IX.[TJOI2015]概率论 O E I S 大 法 好 我们设$f(x)$表示$x$个节点的二叉树的叶子节点个数之和，$g(x)$表示$x$个节点的二叉树总数。则答案就是$\dfrac{f(n)}{g(n)}$。 显然$g$就是卡特兰数；$f$通过$O(n^4)$暴力DP可以打出表来，发现是
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摘要：VIII.随机数生成器 这题能自己做出来（虽然想了整整3天），我已经满足了。 我们设$p(x)$表示最大值刚好为$x$的概率。则答案为$\sum\limits_^mp(i)i$。 有了上一题的经验，我们很容易想到刚好为$x$的概率不好求，必须做一个前缀和/后缀和才好求。那么到底是用前缀和还是后缀和呢
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摘要：VII.[ZJOI2015]地震后的幻想乡 本题有两种思路。 一种思路是从暴力入手并优化状态。 我们考虑边的一组排列${p_1,\dots,p_m}$。它是将边按照边权从小到大排列的结果。则我们在这组排列上跑Kruskal，设在加入排名为$i$的边时跑出了一棵生成树，则这组排列的答案就是排名为$i$
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摘要：XXXVI.[UOJ#498]新年的追逐战 考虑最simple的场景，即我们要计算的是两张图的乘积 \(G=G_1\times G_2\)。显然，\(G\) 中的两个点 \((u_1,u_2)\) 与 \((v_1,v_2)\) 联通，当且仅当存在两条长度相等的可以是非简单的路径，满足第一条在 \(
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摘要：XXXV.[WC2019]数树 首先将问题从”存在路径同时属于两个树“，先转换成被两个树上同时存在的边连成的连通块中的所有边须有相同颜色。进一步地，因为两棵树的并必然是森林，而森林的连通块数即为点数减边数，因此一对树 \(T_1,T_2\) 的贡献便是 \(f(T_1,T_2)=y^{n-|T_1\
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摘要：XXXII.[AGC005F] Many Easy Problems 直接计算恐怕不太容易，正难则反，考虑一个节点何时不被包含在一个连通块内。 显然，假如我们以当前节点为根，则当且仅当集合中所有节点同处在其某一个儿子的子树内，当前节点不在连通块内。 我们设 \(f(i,j)\) 表示节点 \(i\)
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摘要：XXVIII.[NOI2017]泳池 常系数齐次线性递推的应用。 我们首先将问题转换为（面积小于等于$K$的方案数）减去（面积小于等于$K-1$的方案数）。 然后考虑两个东西分别DP。我们设当前考虑的是面积小于等于$m$的情况。 我们设$f_{i,j}$表示考虑一段长为$i$的沙滩，其中前$j-1$
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摘要：XVI.WD与积木 本题有两种思路。 首先，两种思路共同的地方在于都将期望化成了$\dfrac{\text{所有方案一共的层数}}{\text{总共的方案数}}\(。我们设其为\)\dfrac$。 思路1：从DP开始 我们先考虑求出$g_n$。 我们有 \(g_n=\sum\limits_{i=1}
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摘要：XXV.玩游戏 我们考虑令$f(p)$表示游戏的“$p$次价值”的期望。 则按照期望定义，我们有 \(f(p)=\dfrac{\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m(a_i+b_j)^p}{nm}\) 考虑二项式暴力展开，得到 \(f(p)=\dfrac{\su
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摘要：XXIV.CF960G Bandit Blues 我们注意到，$n$一定是前缀最大值中最靠右的一个以及后缀最大值中最靠左的一个。换句话说，我们在位置$n$可以将整个排列划成两半，前一半中恰有$a-1$个前缀最大值，而后一半中恰有$b-1$个后缀最大值。 显然两半的问题是相同的，因为后缀最大值在翻转序
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摘要：XVIII.CF848E Days of Floral Colours 大部分FFT题都是用来优化DP的…… 首先，我们看向环上的某个位置$i$（自动对$2n$取模）： \(\dots,(i-2),(i-1),i,(i+1),(i+2),\dots\) 它有如下几种配对： \((i,i+n)\)。
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摘要：XIII.CF623E Transforming Sequence 这题仔细一想还挺简单的……但是我一直在想有标号的DP，但实际上只需要用无标号DP即可…… 首先，一眼可以看出当$n>k$时无解，可以直接特判掉。 则我们设$f[i][j]$表示当前填到第$i$个数，且前$i$个数$\operator
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摘要：XII.差分与前缀和 打 表 出 奇 迹 我们先考虑前缀和。 对于两个下标$i,j$，我们考虑$k$阶前缀和后，位置$j$会被加上多少个$a_i$。显然，加上$a_i$的数量，仅与$j-i$的值有关。 于是我们就打表辣 \(k\) \ \(j-i\) 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2
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