Bzoj 1101: [POI2007]Zap

1101: [POI2007]Zap

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Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a
，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个
正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2

思路：

题意即是求

$\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=d]$

考虑化简式子。把d除到前面。得到：

$\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{a}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{b}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1]$

出现$gcd(i,j)=1$，考虑莫比乌斯反演。原式化为：

$\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{a}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{b}{d}\rfloor}\sum\limits_{p|gcd(i,j)}\mu(p)$

把$p$提到前面枚举(p代指某数而非代指质数)

$\sum\limits_{p=1}^{\lfloor \frac{\min(a,b)}{dp}\rfloor}\mu(p)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{a}{dp}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{b}{dp}\rfloor}$

如果我们预处理出来$\mu$的前缀和，原式就可以化为。

$\sum\limits_{p=1}^{\lfloor \frac{\min(a,b)}{dp}\rfloor}\mu(p)S(\lfloor \frac {a}{dp}\rfloor)S(\lfloor \frac {b}{dp}\rfloor)$

经过这样的变形，我们便可以通过枚举$P$,再利用前缀和来得出答案，但是枚举$P$的时间复杂度不对。
考虑分段求和。因为在约$\sqrt n$的区间内 $\lfloor \frac {a}{dp}\rfloor$的值是不变的，同理$b$也一样.所以我们通过枚举每一段，再利用结合律来得出答案。

下面是代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 51000;
bool np[N];
int pr[N], tot, mu[N],  sum[N];
using namespace std;
void init() {
	mu[1]=1;
	sum[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) {
        if(!np[i]) {
            pr[++tot]=i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*pr[j]<N;j++) {
            np[i*pr[j]]=1;
            if(i % pr[j] == 0) {
                mu[i*pr[j]] = 0;
                break; 
            }
            mu[i*pr[j]]=-mu[i];
        }
        sum[i] = sum[i-1] + mu[i];
    }
}
void work(int a,int b,int d) {
    a/=d;
    b/=d;
    if(a>b)swap(a,b);
    int lst = 0;
    long long ans=0;
    for(int p=1;p<=a;p=lst+1) {
        lst=min(a/(a/p),b/(b/p));
        ans+=(long long)(sum[lst]-sum[p-1])*(a/p)*(b/p);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main() {
    int t,a,b,c;
    init();
    //for(int i=1;i<=50000;i++) printf("%d\n",sum[i]);
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        work(a,b,c);
    }
}

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