P2522 [HAOI2011] Problem b

P2522 [HAOI2011] Problem b

大意

\[\sum_{x=a}^b \sum_{y=c}^d [\gcd(x, y) = k] \]

思路

利用 容斥原理，我们可以将区间 \([a, b]\) 和 \([c, d]\) 的限制简化为从 \(1\) 开始的形式。令 \(f(n, m, k)\) 表示 \(1 \le x \le n, 1 \le y \le m\) 且 \(\gcd(x, y) = k\) 的个数，则原式等于：

\[f(b, d, k) - f(a-1, d, k) - f(b, c-1, k) + f(a-1, c-1, k) \]

对于 \(f(n, m, k)\)，满足 \(\gcd(x, y) = k\) 等价于 \(\gcd(\frac{x}{k}, \frac{y}{k}) = 1\)。

令 \(n' = \lfloor \frac{n}{k} \rfloor, m' = \lfloor \frac{m}{k} \rfloor\)，我们要算的是：

\[\sum_{i=1}^{n'} \sum_{j=1}^{m'} [\gcd(i, j) = 1] \]

利用莫比乌斯函数的性质 \(\sum_{d|\gcd(i,j)} \mu(d) = [\gcd(i, j) = 1]\)，代入得：

\[\sum_{i=1}^{n'} \sum_{j=1}^{m'} \sum_{d|\gcd(i, j)} \mu(d) \]

通过枚举 \(d\) 调整求和顺序：

\[\sum_{d=1}^{\min(n', m')} \mu(d) \lfloor \frac{n'}{d} \rfloor \lfloor \frac{m'}{d} \rfloor \]

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 50005;
int mu[MAXN], pr[MAXN];
bool vis[MAXN];
int sum[MAXN], tot = 0;

void init(int n){
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;i ++){
		if(!vis[i]){
			pr[++ tot] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j = 1;j <= tot && pr[j] * i <= n;j ++){
			vis[pr[j] * i] = 1;
			if(i % pr[j] == 0){
				mu[pr[j] * i] = 0;
				break;
			}
			mu[pr[j] * i] = -mu[i];
		}
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
	}
}

long long count(int a, int b, int d){
	a /= d, b /= d;
	if(a > b) swap(a, b);
	long long ans = 0;
	for(int l = 1, r;l <= a;l = r + 1){
		r = min(a / (a / l), b / (b / l));
		ans += (long long)(sum[r] - sum[l - 1]) * (a / l) * (b / l);
	}
	return ans;
}

int main(){
	init(50000);
	int t; cin >> t;
	while(t --){
		int a, b, c, d, k;
		cin >> a >> b >> c >> d >> k;
		long long res = count(b, d, k) - count(a - 1, d, k) - count(b, c - 1, k) + count(a - 1, c - 1, k);
		cout << res << '\n';
	}
	return 0;
}