[核桃] - P10769 冒险

[核桃] - P10769 冒险

大意

\(n\) 种物品，每种物品有重量 \(w_j\) 和价值 \(v_j\)，一个模数 \(P\)，背包容量无限（每种物品可以拿任意多件），总重量 \(W\) = 所选物品的重量之和，转轮位置 \(= W \mod P\)，代价 = 所选物品的价值之和。任务：对于每个位置 \(i = 0, 1, ..., P-1\)，计算：能达到位置 \(i\) 的最小代价如果无法达到位置 \(i\)，输出 \(-1\)

思路

最开始看到这个题是想到了完全背包，就是对于每个 \(W \% P\) 去凑数，然后我们只需要去凑 \(W\)，那么我们应该怎么凑呢？首先要考虑 dp，但是我们发现如果 dp 的话，很难去定义状态，因为这是个带取模问题的题目，那么我们就可以去想到凑硬币的那种同余最短路（类似）。

那么这道题，我们只需要对于每个余数为 \(i\) 的，将其最小价值 \(v\) 存储进去，这样的话我们在转移的时候选择每个余数的最小价值，好，那么具体需要注意的是，对于余数为 \(0\) 的，我们将其赋值为 \(\text{INF}\)， 因为你在转移的过程中用余数是 \(0\) 的很扯淡，因为加上 \(0\) 并不会有任何贡献，然后边最多就是 \(P\) 条，我们在转移的过程中实际上是类似最短路的写法，加上最优化剪枝，这个题就没了。

代码

#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

#define vc vector
#define eb emplace_back
#define ll long long
#define pr pair<ll, int>
const int MAXN = 2005;
const long long INF = 1e18;

int n, p;
ll c[MAXN], dp[MAXN];
vc<pr> f;
priority_queue<pr, vc<pr>, greater<pr> > q;

int main(){
	freopen("venture.in", "r", stdin);
	freopen("venture.out", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin >> n >> p;
	for(int i = 0;i < p;i ++){
		c[i] = INF;
		if(i == 0) dp[i] = 0;
		else dp[i] = INF;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		ll w, v; cin >> w >> v;
		int r = w % p;
		if(r != 0 && v < c[r]){
			c[r] = v;
		}
	}
//	for(int i = 1;i <= n;i ++){
//		cout << c[i] << '\n';
//	}
	for(int i = 1;i < p;i ++){
		if(c[i] != INF){
			f.eb(i, c[i]);
		}
	}
	q.push({0, 0});
	while(!q.empty()){
		pr now = q.top(); q.pop();
		ll d = now.first; int x = now.second;
		if(d > dp[x]) continue;
		for(pr u : f){
			int r = u.first; ll v = u.second;
			int y = (x + r) % p;
//			cout << r << ' ' << w << '\n';
			if(dp[y] > d + v){
				dp[y] = d + v;
				q.push({dp[y], y});
			}
		}
	}
	for(int i = 0;i < p;i ++){
		if(dp[i] == INF) cout << -1 << ' ';
		else cout << dp[i] << ' ';
	}
	return 0;
}