[Non]区间平方和

[Non]区间平方和

大意

需要完成区间修改和区间查询平方和的功能。

思路

首先我们考虑用线段树维护，然后想想 pushup 和 pushdown 怎么写？

定义：
sum, sumq。
显然有 pushup:

t[u].sum = t[lc].sum + t[rc].sum;
t[u].sumq = t[lc].sumq + t[rc].sumq;

然后考虑 pushdown，若是对于一段区间全部加上 \(k\) 会发生什么？

不妨设区间长度为 \(2\)，即 \(a, b\)，原 \(\text{sumq} = a ^ 2 + b ^ 2\)，现在为 \((a + k) ^ 2 + (b + k) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ak + 2bk + 2k^2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2k(a + b) + 2 k^2\)。
而 \(a + b = \text{sum}\)，即 \(\text{sum} + k ^ 2 \times \text{len} + 2 \times \text{sum} \times k\) 故我们有 pushdown 如下：

if(t[u].add){
	t[lc].sumq += (t[u].add * t[u].add * (t[lc].r - t[lc].l + 1) + 2  * t[lc].sum * t[u].add);
	t[rc].sumq += (t[u].add * t[u].add * (t[rc].r - t[rc].l + 1) + 2  * t[rc].sum * t[u].add);
	t[lc].sum += t[u].add * (t[lc].r - t[lc].l + 1);
	t[rc].sum += t[u].add * (t[rc].r - t[rc].l + 1);
	t[lc].add += t[u].add;
	t[rc].add += t[u].add;
	t[u].add = 0;
}

然后就没了。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

#define lc u << 1
#define rc u << 1 | 1

const int MAXN = 1e5 + 5;

struct node{
    int l, r;
    long long add;
    long long sum, sumq;
}t[MAXN * 4];

void pushup(int u){
    t[u].sum = t[lc].sum + t[rc].sum;
    t[u].sumq = t[lc].sumq + t[rc].sumq;
}

// a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2
//     (a + k) ^ 2 + (b + k) ^ 2 + (c + k) ^ 2
//     += k ^ 2 * len + 2 * sum * k

void pushdown(int u){
    if(t[u].add){
        t[lc].sumq += (t[u].add * t[u].add * (t[lc].r - t[lc].l + 1) + 2  * t[lc].sum * t[u].add);
        t[rc].sumq += (t[u].add * t[u].add * (t[rc].r - t[rc].l + 1) + 2  * t[rc].sum * t[u].add);
        t[lc].sum += t[u].add * (t[lc].r - t[lc].l + 1);
        t[rc].sum += t[u].add * (t[rc].r - t[rc].l + 1);
        t[lc].add += t[u].add;
        t[rc].add += t[u].add;
        t[u].add = 0;
    }
}

void build(int u, int l, int r){
    t[u] = {l, r, 0, 0, 0};
    if(l == r) return;
    int mid = (l & r) + ((l ^ r) >> 1);
    build(lc, l, mid);
    build(rc, mid + 1, r);
    pushup(u);
}

void update(int u, int l, int r, int k){
    if(l <= t[u].l && t[u].r <= r){
        t[u].add += k;
        t[u].sumq += (2 * k * t[u].sum + k * k * (t[u].r - t[u].l + 1));
        t[u].sum += k * (t[u].r - t[u].l + 1);
        return;
    }
    int mid = (t[u].l & t[u].r) + ((t[u].l ^ t[u].r) >> 1);
    pushdown(u);
    if(l <= mid){
        update(lc, l, r, k);
    }
    if(r > mid){
        update(rc, l, r, k);
    }
    pushup(u);
}

long long query(int u, int l, int r){
    if(l <= t[u].l && t[u].r <= r){
        return t[u].sumq;
    }
    int mid = (t[u].l & t[u].r) + ((t[u].l ^ t[u].r) >> 1);
    pushdown(u);
    long long ans = 0;
    if(l <= mid){
        ans += query(lc, l, r);
    }
    if(r > mid){
        ans += query(rc, l, r);
    }
    return ans;
}

int n, m;

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n >> m;

	build(1, 1, n);
    for(int i = 1;i <= m;i ++){
        string op;
        int l, r, k;
        cin >> op;
        if(op == "Update"){
            cin >> l >> r >> k;
            update(1, l, r, k);
        }
        else{
            cin >> l >> r;
            cout << query(1, l, r) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}