「codeforces - 1284G」Seollal
description
给定 \(n\times m\) 的网格图，有些格子有障碍，无障碍且相邻的格子之间连边形成图。保证 \((1, 1)\) 无障碍，保证无障碍格子连通。
将网格图黑白染色，相邻格子颜色不同，\((1,1)\) 为黑色。
构造一棵生成树，使得以 \((1,1)\) 为根时，所有叶子都为白色。注意：即使 \((1,1)\) 度数为 \(1\)，也不能视为叶子。
solution
拟阵交。
注意到黑白染色后，每条边最多属于一个黑点，因此可以构造边拟阵 \(I_1\) 表示删除独立集 \(P\) 的边后，剩下的黑点相邻的边数 \(\geq 2\)（注意反过来加边不能构成拟阵，删边才可以）。这里需要特判初始时黑点度数是否 \(\geq 2\)。
另一个拟阵 \(I_2\) 就可以套路地构造成图拟阵的对偶拟阵即可。求出最大拟阵交，检验是否为生成树。
至于怎么求拟阵交，可以参考 2018 年集训队论文《浅谈拟阵的一些拓展及其应用 —— 江苏省淮阴中学 杨乾澜》。
submission
details
放个参考资料，这里有一份简单的拟阵 & 拟阵交算法介绍。
update in 2021/01/09：草，链接放错了。找不到原来那个链接了，跑路了跑路了。
简单写个拟阵交算法的流程（当然，没有证明）：类似于二分图匹配，构造 \(X\) 部表示已在拟阵交的，\(Y\) 部表示未在拟阵交的。
对于所有 \(u\in Y\)，当 \(X\cup u\in I_1\)，建边 \((s, u)\)；当 \(X\cup u \in I_2\)，建边 \((u, t)\)。
对于所有 \(u\in Y,v\in X\)，当 \((X\setminus v)\cup u \in I_1\)，建边 \((v,u)\)；当 \((X \setminus v)\cup u\in I_2\)，建边 \((u,v)\)。
那么一条 \(s\to t\) 的最短增广路翻转后，总可以得到更大的拟阵交。
如果带权，则给 \(X\) 部的点权 \(-v\)，给 \(Y\) 部的点权 \(v\)，跑以点权和最大为第一关键字，以边数最少为第二关键字找 \(s\to t\) 的增广路。如果直接跑 spfa(bellman) 则一定是边数最少。