@hdu - 5822@ color
@description@
给定一个每个点出度都为 1 的有向连通图以及 m 种颜色。求本质不同的染色方案数。
@solution@
其实就是基环树。
考虑一棵有根树的本质不同染色方案：先递归处理出子树答案，通过树哈希把它长得一样的子树放在一起。
对于长得相同的子树，假如有 x 个，这子树的染色方案为 f[x]，则它们的贡献为 C(f[x] + x - 1, x)。一个不难理解的组合问题。
注意那个组合数直接暴力算就好了，因为 ∑x = n。
再考虑环，可以使用 burnside 引理解决，是个经典的模型。
不过注意环旋转过后对应位置的树哈希值必须相等，否则这个置换是不合法的，不能算入最后的置换群大小中。
为了保证这一点，可以先求出所有可行循环节大小。转成 border 用 kmp 求即可。
总时间复杂度 O(nlogn)。
@accepted code@
#include <map>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int MAXN = 100000;
const int MOD = int(1E9) + 7;
const int HASHMOD = 19260817;
int pow_mod(int b, int p) {
int ret = 1;
for(int i=p;i;i>>=1,b=1LL*b*b%MOD)
if( i & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
return ret;
}
struct dhash{
ull h1; int h2; dhash() : h1(0), h2(0) {}
dhash(ull _h1, int _h2) : h1(_h1), h2(_h2) {}
friend dhash operator + (const dhash &a, const dhash &b) {
return dhash(a.h1 + b.h1, (a.h2 + b.h2 >= HASHMOD ? a.h2 + b.h2 - HASHMOD : a.h2 + b.h2));
}
friend dhash operator - (const dhash &a, const dhash &b) {
return dhash(a.h1 - b.h1, (a.h2 - b.h2 < 0 ? a.h2 - b.h2 + HASHMOD : a.h2 - b.h2));
}
friend dhash operator * (const dhash &a, const dhash &b) {
return dhash(a.h1 * b.h1, 1LL * a.h2 * b.h2 % HASHMOD);
}
friend bool operator < (const dhash &a, const dhash &b) {
return (a.h1 == b.h1 ? a.h2 < b.h2 : a.h1 < b.h1);
}
friend bool operator == (const dhash &a, const dhash &b) {
return ((!(a < b)) && (!(b < a)));
}
friend bool operator != (const dhash &a, const dhash &b) {
return a < b || b < a;
}
};
int f[MAXN + 5], n, m;
bool tag[MAXN + 5], vis[MAXN + 5];
int get(int x) {
vis[x] = true;
if( vis[f[x]] ) {
tag[x] = true;
return f[x];
}
int ret = get(f[x]);
if( ret != -1 )
tag[x] = true;
return (ret == x ? -1 : ret);
}
dhash h[MAXN + 5], sed[MAXN + 5], pw[2*MAXN + 5];
int dp[MAXN + 5], iv[MAXN + 5], siz[MAXN + 5];
vector<int>v[MAXN + 5];
int comb(int n, int m) {
n = ((n + m) % MOD + MOD - 1) % MOD;
int ret = 1;
for(int i=1;i<=m;i++)
ret = 1LL*ret*(n-i+1)%MOD*iv[i]%MOD;
return ret;
}
pair<dhash, int>tmp[MAXN + 5];
void dfs(int x) {
siz[x] = 1, h[x] = dhash(1, 1);
for(int i=0;i<(int)v[x].size();i++) {
int to = v[x][i];
if( tag[to] ) continue;
dfs(to); siz[x] += siz[to];
h[x] = h[x] + sed[siz[to]] * h[to];
}
int tot = 0;
for(int i=0;i<(int)v[x].size();i++) {
int to = v[x][i];
if( tag[to] ) continue;
tmp[++tot] = make_pair(h[to], dp[to]);
}
sort(tmp + 1, tmp + tot + 1), dp[x] = m;
for(int i=1;i<=tot;i++) {
int j = i;
while( j < tot && tmp[i].first == tmp[j + 1].first )
j++;
dp[x] = 1LL*dp[x]*comb(tmp[i].second, j - i + 1)%MOD;
i = j;
}
}
int b[MAXN + 5], c[MAXN + 5], cnt;
int con[MAXN + 5], tot;
int gcd(int x, int y) {
return (y == 0 ? x : gcd(y, x % y));
}
int fail[MAXN + 5], prod[MAXN + 5];
int solve1() {
prod[0] = c[0];
for(int i=1;i<cnt;i++)
prod[i] = 1LL*prod[i - 1]*c[i]%MOD;
fail[0] = -1, fail[1] = 0;
for(int i=2;i<=cnt;i++) {
int j = fail[i - 1];
while( j != -1 && b[j] != b[i-1] )
j = fail[j];
fail[i] = j + 1;
}
for(int i=1;i<=cnt;i++) con[i] = 0;
for(int p=cnt;fail[p]!=-1;p=fail[p])
con[cnt - fail[p]] = prod[cnt - fail[p] - 1];
/*
for(int i=1;i<=cnt;i++) {
if( cnt % i == 0 ) {
bool flag = true;
for(int j=i;j<cnt;j++)
if( b[j-i] != b[j] ) {
flag = false;
break;
}
if( flag ) {
con[i] = 1;
for(int j=0;j<i;j++)
con[i] = 1LL*con[i]*c[j]%MOD;
}
else con[i] = 0;
}
}
*/
int ans = 0; tot = 0;
for(int i=0;i<cnt;i++) {
int x = gcd(i, cnt);
if( con[x] ) ans = (ans + con[x]) % MOD, tot++;
}
return ans;
}
int solve() {
int ret = solve1();
return 1LL*ret*pow_mod(tot, MOD-2)%MOD;
}
int a[MAXN + 5], dcnt; dhash d[MAXN + 5];
int read() {
int x = 0, ch = getchar();
while( ch > '9' || ch < '0' ) ch = getchar();
while( '0' <= ch && ch <= '9' ) x = 10*x + ch - '0', ch = getchar();
return x;
}
void work() {
n = read(), m = read();
for(int i=1;i<=n;i++) v[i].clear(), tag[i] = vis[i] = false;
for(int i=1;i<=n;i++) v[f[i] = read()].push_back(i);
get(1);
for(int i=1;i<=n;i++)
if( tag[i] ) dfs(i);
cnt = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if( tag[i] ) {
int p = i;
do {
a[cnt++] = p;
p = f[p];
}while( p != i );
break;
}
dcnt = 0;
for(int i=0;i<cnt;i++) d[++dcnt] = h[a[i]];
sort(d + 1, d + dcnt + 1), dcnt = unique(d + 1, d + dcnt + 1) - d - 1;
for(int i=0;i<cnt;i++) b[i] = lower_bound(d + 1, d + dcnt + 1, h[a[i]]) - d, c[i] = dp[a[i]];
printf("%d\n", solve());
}
ull get_rand() {
ull p = rand() << 16 | rand();
ull q = rand() << 16 | rand();
return p << 32 | q;
}
void init() {
for(int i=0;i<=MAXN;i++) {
ull p = get_rand();
sed[i] = dhash(p, int(p % HASHMOD));
}
iv[1] = 1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
iv[i] = MOD - 1LL*(MOD/i)*iv[MOD%i]%MOD;
pw[0] = dhash(1, 1), pw[1] = dhash(1313131, 1313131);
for(int i=2;i<=2*MAXN;i++)
pw[i] = pw[i-1] * pw[1];
}
int main() {
srand(20041112), init();
int T; scanf("%d", &T);
while( T-- ) work();
}
@details@
貌似有点小卡常，不知道是不是我常数太大。
