CF886E题解

Maximum Element

总结

正难则反，分拆状态。

题意

给定一个函数，它会在找到一个大于后面 \(k\) 个数返回，求用这个函数找一个长度为 \(n\) 的排列的最大值有多少种错误的方案。

题目解析

首先我们考虑找错误的（即一个非 \(n\) 的数大于后面 \(k\) 个数），发现它很难，于是正难则反，考虑正确的有多少个，然后用全排列减。
那么看到 \(n \le 10^6\)，考虑线性 dp，拆分状态，因为如果前面已经记录了最大值 \(n\)，那么求到的就一定是对的。于是我们考虑枚举最大值的位置 \(i = 1 \sim n\)，并 dp 求出满足到第 \(i\) 位还没有跳出的方案数，然后乘上选 \(i-1\) 个数放在 \(i\) 前面，后面 \(n-i\) 个位置随便放的方案数即可。答案为：

\[\sum_{i=1}^n f_{i-1} \begin{pmatrix}n-1 \\ i-1\end{pmatrix} (n-i)! \]

现在我们来求 \(f_i\)，定义上 \(f_i\) 是到第 \(i\) 位还没有跳出的方案数，那么既然它没有跳出，那么最大值 \(i\) 一定在最后 \(k\) 位里面，此时我们枚举最大值的位置，选 \(j-1\) 个数放在 \(j\) 前面，其他放后面：

\[f_i=\sum_{j=i-k+1}^{i} f_{j-1} \begin{pmatrix}i-1 \\ j-1\end{pmatrix} (i-j)! \]

推一下式子：

\[\begin{aligned} f_i&=\sum_{j=i-k+1}^{i} f_{j-1} \begin{pmatrix}i-1 \\ j-1\end{pmatrix} (i-j)! \\ &=\sum_{j=i-k+1}^{i} f_{j-1} \frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!} (i-j)! \\ &=(i-1)!\sum_{j=i-k+1}^{i} \frac{f_{j-1}}{(j-1)!} \\ &=(i-1)!\sum_{j=i-k}^{i-1} \frac{f_{j}}{j!} \end{aligned} \]

显然可以前缀和优化 dp。