P4564题解

P4564 [CTSC2018] 假面

分析

首先，容易看出结界操作对答案没有任何影响，仅仅只是一个查询操作。那么我们看第一问：

对于针针施放的每个结界技能，它命中各敌人的概率分别是多少。

如果结界要命中第 \(i\) 个人，那么首先要保证他存活。因为我们难以直接判断一个人存活的概率，所以我们可以维护第 \(i\) 个人在生命值为 \(m\) 的概率 \(P_{i,m}\)，那么他死亡的概率就是 \(P_{i,0}\)，存活概率为 \(p_i = 1 - P_{i,0}\)。其次，我们命中的概率还受剩下的人中存活人数的影响，因此我们可以枚举这 \(k\) 个人有 \(j\) 个人存活，概率为 \(f_{k,j}\)，那么我们命中第 \(k\) 个人的概率就是 \(p_k \times \sum _ {j=0}^{k-1} \frac{f_{k,j}}{j+1}\)，表示在第 \(k\) 个人存活的条件下，其余的 \(k-1\) 个人中有 \(j\) 个人存活的概率除以总人数 \(j+1\) 即为命中概率。因为人的顺序不影响答案，因此我们可以总是将要求的第 \(i\) 个人放到第 \(k\) 个位置，那么我们记前 \(k\) 个人有 \(j\) 个人存活的概率为 \(g_{k,j}\)，那么计算除 \(k\) 外的 \(k-1\) 个人就是计算前 \(k-1\) 个人，可得 $f_{k,j} = g_{k-1,j} $。
现在我们来求 \(g_{k,j}\)。首先，显然 \(g_{0,0} = 1\)。然后，当到第 \(i\) 个人时，如果还是无人生还，则需要乘上第 \(i\) 个人的死亡概率 \(1 - p_i\)，即：

\[g_{i,0} = g_{i-1,0} \times ( 1 - p_i ) \]

然后我们考虑到第 \(i\) 个人时有 \(j\) 个人存活，则有两种情况：

1. 这个人存活，那么概率为这个人存活的概率乘上有 \(j-1\) 个人存活的概率，即 \(g_{i-1,j-1} \times p_i\)
2. 这个人死亡，那么概率为这个人死亡的概率乘上有 \(j\) 个人存活的概率，即 \(g_{i-1,j} \times ( 1 - p_i )\)

合起来：

\[g_{i,j}=g_{i-1,j-1} \times p_i + g_{i-1,j} \times ( 1 - p_i ) \]

于是我们也可以得到 \(g_{i-1,j-1} = \frac{g_{i,j}-g_{i-1,j} \times (1-p_i)}{p_i}\)，将 \(g\) 换成 \(f\) 得到 \(f_{i,j-1} = \frac{g_{i,j} - f_{i,j} \times (1-p_i)}{p_i}\)

再来看第二问，求剩余生命值的期望，我们可以直接将处于每个生命值的概率乘上生命值大小得出。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=205;
const int P=998244353;
int n,q,k[N],m[N];
int ksm(int x,int t)
{
    int ans=1;
    while(t)
    {
        if(t&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;
        t>>=1;
    }
    return ans;
}
int D(int x){return ksm(x,P-2);}//求逆元
int f[N][105],g[N][N],ny[N],a[N],p[N];
signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>m[i];
        f[i][m[i]]=1;//开局一定满血
        ny[i]=D(i);//求 1/i
    }
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        int ty;
        cin>>ty;
        if(!ty)
        {
            int id,u,v;
            cin>>id>>u>>v;
            u=u%P*D(v)%P;
            for(int i=1;i<=m[id];i++)
            {
                f[id][i-1]=(f[id][i-1]+f[id][i]*u%P)%P;//扣血
                f[id][i]=(f[id][i]*(1-u+P)%P)%P;//不扣血
            }
        }
        else 
        {
            int k;
            cin>>k;
            for(int i=1;i<=k;i++)
            {
                cin>>a[i];
                p[i]=1-f[a[i]][0];//存活概率为1减生命清零（死亡）的概率
            }
            g[0][0]=1;//前0个人一定存活0人
            for(int i=1;i<=k;i++)
            {
                g[i][0]=g[i-1][0]*(1-p[i])%P;//转移到i依然全死的概率乘上i死亡的概率
                for(int j=1;j<=k;j++)
                    g[i][j]=(g[i-1][j-1]*p[i]%P+g[i-1][j]*(1-p[i])%P)%P;
            }
            for(int i=1;i<=k;i++)
            {
                int del=D(p[i]),ans=0;
                int now=g[k][k]*del%P;
                for(int j=k-1;j>=0;j--)//还剩除第k个外的j个人
                {//写代码的时候将f[k][j]变成了f[k][j+1]
                    ans=(ans+(now*p[i]%P*ny[j+1])%P)%P;
                    now=(g[k][j]-now*(1-p[i])%P)%P*del%P;
                }
                cout<<(ans+P)%P<<' ';
            }
            cout<<'\n';
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int ans=0;
        for(int j=0;j<=m[i];j++)
            ans=(ans+f[i][j]*j%P)%P;
        cout<<(ans+P)%P<<' ';//将答案转为正数
    }
}