动态dp学习笔记
动态dp
前置知识
广义矩阵乘法
一般矩阵乘法在dp转移时难以使用，于是，我们可以定义一个更方便应用于dp的矩阵乘法（下面为区分计为\(*\)）
定义矩阵A，B
\[A*B=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} max(a_1+b_1,a_2+b_3) & max(a_1+b_2,a_2+b_4) \\ max(a_3+b_1,a_4+b_3) & max(a_3+b_2,a_4+b_4) \end{bmatrix}
\]
不难发现，\(*\)就是在原矩阵乘法的基础上将乘改为了取最大值，它仍然满足结合律（具体为什么自己证明）
树链剖分
重链剖分容易被卡，建议学习全局平衡二叉树(我不会)
解题
首先，这个题目要求求最大权独立集，直接考虑树上dp，就是P1352转移方程为
\[f_{x,1}=a_x+ \sum f_{y,0}
\]
\[f_{x,0}=\sum max(f_{y,0},f_{y,1})
\]
但是我们这里带修改，如果再跑一遍时间一定会超，于是我们考虑用矩阵加速。但是我们带\(\sum\)的转移难以使用矩阵乘法，于是我们考虑改一下转移方程。如果将树剖成链，那么我们就可以将转移方程改为
\[f_{x,1}=f_{son_x,0}+g_{x,1}
\]
\[\begin{aligned}
f_{x,0}&=max(f_{son_x,0},f_{son_x,1})+g_{x,0}\\
&=max(f_{son_x,0}+g_{x,0},f_{son_x,1}+g_{x,0})
\end{aligned}
\]
其中，\(g\)表示只考虑轻儿子时的\(f\)，然后我们就可以把上述方程改为一个\(*\)式子
\[\begin{bmatrix}f_{x,0} \\ f_{x,1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} g_{x,0} & g_{x,0} \\ g_{x,1} & -\infty \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} f_{y,0} \\ f_{y,1} \end{bmatrix}
\]
然后\(*\)满足结合律，还在链上连续，于是我们很容易就能想到使用线段树维护区间乘来得到每个链的dp数组了
代码：
using namespace std;
//#define int long long
#define endl '\n'
const int N=1e5+5;
int n,m;
int num,b[N*2],p[N],nt[N*2];
void add(int x,int y)
{
++num;
b[num]=y;nt[num]=p[x];p[x]=num;
}
struct Matrix
{
int m[5][5];
Matrix(){memset(m,-0x3F,sizeof(m));}
};
Matrix operator * (Matrix &A,Matrix &B)
{
Matrix C;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
C.m[i][j]=max(C.m[i][j],A.m[i][k]+B.m[k][j]);
return C;
}
//广义矩阵乘法
int f[N][2],a[N];
//f[i][1]表示选择i号点时，以i号点为根的子树的最大权独立集
//f[i][0]表示不选择i号点时，以i号点为根的子树的最大权独立集
Matrix val[N];//点的转移矩阵，用原序存
/*
g放在了矩阵中
g[i][1]表示i号点只考虑轻儿子的取自己的最大权独立集
g[i][0]表示i号点的所有轻儿子，可取可不取形成的最大权独立集
即g只处理轻儿子部分
因此，我们可以得到以下转移方程：
f[i][1]=g[i][1]+f[j][0]
f[i][0]=g[i][0]+max(f[j][0],f[j][1])
转移就可以当做一个广义矩阵乘
|g[i][0] g[i][0]| |f[j][0]| |max(g[i][0]+f[j][0],g[i][0]+f[j][1])| |g[i][0]+max(f[j][0],f[j][1])| |f[i][0]|
|g[i][1] -inf | * |f[j][1]| = |max(g[i][1]+f[j][0],-inf) | = |g[i][1]+f[j][0] | = |f[j][0]|
于是就可以通过用线段树维护链上的区间乘来维护链的dp矩阵
*/
//树链剖分
int fa[N],siz[N],dep[N],son[N],top[N],dfn[N],id[N],cnt,ed[N];
void dfs1(int x)
{
siz[x]=1;
for(int i=p[x];i;i=nt[i])
{
int y=b[i];
if(y==fa[x])continue;
fa[y]=x;dep[y]=dep[x]+1;
dfs1(y);
siz[x]+=siz[y];
if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;
}
}
void dfs2(int x,int t)
{
top[x]=t;
dfn[x]=++cnt;
id[cnt]=x;
ed[t]=max(ed[t],cnt);//当前链链头对应的链尾
f[x][0]=0;f[x][1]=a[x];//叶子节点直接赋值f[x][0]=0,f[x][1]为x的权值
val[x].m[0][0]=val[x].m[0][1]=0;
val[x].m[1][0]=a[x];
/*
|0 0 | |g[x][0] g[x][0]|
|a[x] -inf|这个矩阵对应|g[x][1] -inf |
*/
if(!son[x])return;
dfs2(son[x],t);
f[x][0]+=max(f[son[x]][0],f[son[x]][1]);
f[x][1]+=f[son[x]][0];
//重儿子的转移不计入g数组
for(int i=p[x];i;i=nt[i])
{
int y=b[i];
if(y==fa[x]||y==son[x])continue;
dfs2(y,y);
f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
f[x][1]+=f[y][0];
val[x].m[0][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
val[x].m[0][1]=val[x].m[0][0];
val[x].m[1][0]+=f[y][0];
}
}
//树剖完后链上用线段树处理区间矩阵乘
struct node
{
int l,r;
Matrix M;
}tr[N*4];
void pushup(int p){tr[p].M=tr[p*2].M*tr[p*2+1].M;}
void build(int l,int r,int p)
{
tr[p].l=l;tr[p].r=r;
if(l==r)
{
tr[p].M=val[id[l]];//直接赋值
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(l,mid,p*2);
build(mid+1,r,p*2+1);
pushup(p);//处理矩阵
}
void update(int p,int x)//线段树单点修改
{
if(tr[p].l==tr[p].r)
{
tr[p].M=val[id[x]];
return;
}
int mid=(tr[p].l+tr[p].r)/2;
if(x<=mid)update(p*2,x);
else update(p*2+1,x);
pushup(p);
}
Matrix query(int l,int r,int p)
{
if(tr[p].l==l&&tr[p].r==r)return tr[p].M;
int mid=(tr[p].l+tr[p].r)/2;
if(mid>=r)return query(l,r,p*2);
else if(mid<l)return query(l,r,p*2+1);
else
{
Matrix A=query(l,mid,p*2),B=query(mid+1,r,p*2+1);
return A*B;
}
}
void updatepa(int x,int w)//点权修改
{
val[x].m[1][0]+=w-a[x];//修改转移矩阵左下角
a[x]=w;
Matrix bef,aft;//bef为原链的转移矩阵，aft为修改后链的转移矩阵
while(x!=0)//从当前点出发向上修改链
{
bef=query(dfn[top[x]],ed[top[x]],1);
update(1,dfn[x]);
aft=query(dfn[top[x]],ed[top[x]],1);
x=fa[top[x]];
//更新
val[x].m[0][0]+=max(aft.m[0][0],aft.m[1][0])-max(bef.m[0][0],bef.m[1][0]);
val[x].m[0][1]=val[x].m[0][0];
val[x].m[1][0]+=aft.m[0][0]-bef.m[0][0];
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;cin>>x>>y;
add(x,y);add(y,x);
}
dfs1(1);
dfs2(1,1);
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
updatepa(x,y);
Matrix ans=query(dfn[1],ed[1],1);
cout<<max(ans.m[0][0],ans.m[1][0])<<endl;
}
}
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