【学习笔记】动态树 Link-Cut Tree
- 闲话
LCT 优秀博客：
- FlashHu 大佬的 cnblogs：https://www.cnblogs.com/flashhu/p/8324551.html
- 动态树 Link-Cut Tree
- 前置知识
- 「必学」Splay。
- 「重要」树链剖分 / 重链剖分（虽然并不需要用到，但是了解重链剖分的思想还是有用的）。
- 「必学」实链剖分。
实链剖分是一种动态的剖分方式。
对于一个点连向它儿子的所有边，我们选择一条边进行剖分。
被选择的边称为实边，其他边为虚边。
实边连接的儿子称为实儿子。
对于一条实边连接成的链，称为实链。
实链剖分的剖分结果是可变的，可以灵活调整。
和重链剖分的区别就是，重链剖分需要找到儿子子树大小最大的一个连重边，而实链剖分不需要。
- 何为 Link-Cut Tree
给定一棵树，有以下操作：
- 修改 \(x\) 的点权。
- 求出 \(x,y\) 的简单路径的点权和。
- 修改 \(x\) 子树每一点的点权。
- 求出 \(x\) 子树的点权和。
一个很简单的「树链剖分」题目，不是吗？
如果我们增加几个操作呢？
- 断开 \(x \to y\) 这一条边。
- 连上 \(x \to y\) 这一条边。
- 把这棵树改成以 \(x\) 为根。
很显然，因为这棵树要动态删边和加边，且有换根操作，维护静态树的树链剖分就无法处理这类题目了，「动态树 Link-Cut Tree，LCT」应运而生。
具体的，LCT 可以维护以下操作（引自 FlashHu cnblogs）：
- 查询、修改链上的信息（最值，总和等）
- 随意指定原树的根（即换根）
- 动态连边、删边
- 合并两棵树、分离一棵树
- 动态维护连通性
- 更多意想不到的操作
因为 LCT 是动态的数据结构，所以线段树等已不适合维护，引入「Splay」这种平衡树来维护之 \(^{\texttt{[1]}}\)。
LCT 实质上维护了一个森林，每棵树 都由若干棵 Splay 维护。有如下性质：
-
每棵 Splay 都维护一条原树的路径，这条路径满足节点深度依次增大，且中序遍历 Splay 得到的每个点的深度序列严格递增。单独的一个点也可以是一棵 Splay。
- 举个例子，这棵树的构造为
1(2,3)，即 \(1\) 号节点为树根，深度为 \(1\)，\(2,3\) 号节点分别为它的左右儿子，深度为 \(2\)。那么这个 Splay 森林可以是这样的：
- \(\texttt{[1,2][3]}\)，第一棵 Splay 维护 \(1 \to 2\) 这条路径，深度单调递增（\(1,2\)），第二棵维护 \(3\)，单独的一个点。
- \(\texttt{[1,3][2]}\)，第一棵 Splay 维护 \(1 \to 3\) 这条路径，深度单调递增（\(1,2\)），第二棵维护 \(2\)，单独的一个点。
- \(\texttt{[1][2][3]}\)，三个点都为一棵独立的 Splay。
注意 \(\texttt{[1,2,3]}\) 这棵 Splay 是不合法的，因为 \(2,3\) 的深度相等。
- 举个例子，这棵树的构造为
-
每个节点被包含且仅被包含在一棵Splay 内。
-
由以上两条性质我们可以得出，每个节点只能和它的儿子连一条实边，其余的儿子都和他连虚边，并且每一条虚边的儿子所在的 Splay 要指向这个节点。但是这个节点并不能指向其儿子的 Splay（即 FlashHu 博客中的认父不认子）。
- 具体操作
- \(\text{access}(x)\)
-
LCT 最核心的操作。
-
打通根节点和指定节点的路径，即把根节点和 \(x\) 中间的路径都变成 实边，形成一条以根节点开始，指定节点结束的 Splay。
来几张图 \(^{\texttt{[2]}}\)：
假设一开始实边和虚边是这么划分的：
那么所形成的 Splay 森林可能是这样的（绿框中为一个 Splay）：
现在我们要 \(\text{access(N)}\)，把 \(\text{A} \to \text{N}\) 的路径都打通成实边，变成一颗 Splay。
根据性质 3，原来有些实边要变虚（因为 \(\text{A} \to \text{N}\) 的有些虚边要变实，同层只能有一条实边连向父亲）。那么原树可能要变成这样：
我们一步一步自底向上拉。
首先 \(\text{splay(N)}\)，把 \(\text{N}\) 转到所在 Splay 的根。
因为要 以指定节点结束，所以比他深且在一颗 Splay 中的点要去除。
因为性质 1，中序遍历 Splay 得到的每个点的深度序列严格递增，所以我们把 \(\text{N}\) 右边的点去掉即可。即把 \(\text{N} \to \text{O}\) 这条边变虚。直接把 \(\text{N}\) 的右子树变空，然后让 \(\text{O}\) 所在 Splay 指向 \(\text{N}\) 即可。
如下图：
接下来要打通 \(\text{I} \to \text{L}\) 的边，首先找到 \(\text{N}\) 所在 Splay 指向的节点 \(\text{I}\)，并 \(\text{splay(I)}\)，让 \(\text{I}\) 转到其所在 Splay 的树根，这样保证它的右儿子肯定是它在原树中连的虚边（性质 1），把它的右子树置空。
然后就可以连接 \(\text{I} \to \text{L}\) 了，因为 \(\text{L}\) 所指向的点是 \(\text{I}\)，把 \(\text{N}\) 直接连到 \(\text{I}\) 的右子树即可。
\(\text{I}\) 指向 \(\text{H}\)，接着 \(\text{splay(H)}\)，把 \(\text{H}\) 的右子树直接置为 \(\text{I}\) 即可。
\(\text{H}\) 指向 \(\text{A}\)，于是 \(\text{splay(A)}\)，把 \(\text{A}\) 的右子树更新成 \(\text{H}\)。
于是 \(\text{A} \to \text{N}\) 就在一个 Splay 里了，且正好中序遍历以 \(\text{A}\) 开始，以 \(\text{N}\) 结束。
代码很简单，只需要四步：
- \(\text{splay}\) 当前节点，转到根。
- 找到它所指的父亲，换右儿子。
- 更新信息，
pushup。 - 把当前节点变成它的轻边所指的父亲，转 \(1\)。
inline void access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
splay(x),ch[x][1]=y,pushup(x);
}
- \(\text{makeroot}(x)\)
- 把 \(x\) 拉到整棵树的根。
在介绍 \(\text{makeroot}\) 前，先来回顾一下 Splay 的区间反转操作，不熟悉的可以看一下模板题。
- \(\text{pushr(x)}\)
我们注意到，将 \([l,r]\) 这一段区间反转，相当于对于 \(l \le id \le r\) 的每一个节点的左右子树自上而下 反转。
引用几张图 \(^{\texttt{[3]}}\)：
这是一棵树，那么如果我们想翻转 \([2,4]\) 这个区间，只需要 \(\text{splay}\) \(1\) 和 \(5\)，使得 \(5\) 的左子树都是 \(>1\) 且 \(<5\) 的（二叉平衡树的性质），于是只需要反转 \([2,4]\) 的左右子树了。
但在这个地方我们可以考虑打个标记，标记的存在就只在于记录现在对于当前节点应不应该翻转两个子树。
接下来回到 \(\text{makeroot}\)。
首先显然要把根节点到 \(x\) 的路径打通，否则根节点和 \(x\) 都不在一棵 Splay 中，谈何换根。
所以我们先 \(\text{access}(x)\)，然后根节点到 \(x\) 就是一条实路径，且中序遍历以根节点开头，以 \(x\) 结尾。不难发现此时 \(x\) 就是这颗 Splay 中深度最深的点。然后我们先 \(\text{splay}(x)\)，使得 \(x\) 节点为这颗 Splay 的根，（注意不是整棵树的根，因为先序遍历仍以原先根节点开始）。这时候 \(x\) 没有右子树。因为 \(x\) 的深度最深，这时候我们翻转一下，\(\text{pushr}\)，把这一棵 Splay 深度都改变，这时候 \(x\) 就变成的这棵树最上面的节点（真正的根，它没有左子树），大功告成。
inline void pushr(int x){
swap(lc(x),rc(x));
r[x]^=1;
}
inline void makeroot(int x){
access(x); splay(x);
pushr(x);
}
- \(\text{findroot}(x)\)
- 找到 \(x\) 所在原树的根，主要用来判断两点的连通性（即如果 \(\text{findroot}(x)=\text{findroot}(y)\) 表明 \(x,y\) 在一棵树中）。
我们先把根节点到 \(x\) 的路径打通，然后 \(\text{splay}(x)\)，把 \(x\) 转到这棵 Splay的根（不是原树的根，没有破坏结构），这时候根据二叉排序树的性质，所有深度比 \(x\) 小的点都在 \(x\) 的左子树，循环找下去，知道叶节点即可。
注意往下找左儿子的时候，一定要下放翻转标记，不然可能会导致 Splay 信息不正确。
inline int findroot(int x){
access(x); splay(x);
while(lc(x)) pushdown(x),x=lc(x); // 一定要 pushdown！
splay(x); // 保证复杂度
return x;
}
- \(\text{split}(x,y)\)
- 指定出一条 \(x \to y\) 路径的 Splay。
新的 \(\text{makeroot}\) 已经出现，怎么能够停滞不前？
先 \(\text{makeroot}(x)\)，把 \(x\) 变成当前树的根，然后 \(\text{access}(y)\)，提取 \(x \to y\) 的路径。最后 \(\text{splay}(y)\) 保证复杂度。这样访问这个 Splay 的时候只需要访问 \(y\) 就可以了。
inline void split(int x){
makeroot(x); access(y);
splay(y);
}
- \(\text{isroot}(x)\)
- 判断当前节点是否是它所在 Splay 的根。
原理很简单，如果他是 Splay 的根（即它和它的父亲连的是虚边），它的父亲的儿子里没有它（它的父亲连到它的实儿子了）。
inline bool isroot(int x){
return lc(fa[x])==x || rc(fa[x])==x;
}
- \(\text{link}(x,y)\)
- 连上 \(x \to y\) 的边。
可以自行决定把 \(x\) 的父亲设为 \(y\) 还是把 \(y\) 的父亲设为 \(x\)，这里我把 \(x\) 的父亲设为 \(y\)，即在 \(x,y\) 间连一条轻边。
代码也很简单，如下：
inline bool link(int x,int y){
makeroot(x); // 使 x 成为它所在的树的根
if(findroot(y)==x) return 0; // 两点已在一棵树内，连边不合法
fa[x]=y;
return 1;
}
如果题目保证连边合法，代码就可以更简单：
inline void link(int x,int y){
makeroot(x);
fa[x]=y;
}
如果
- Reference
\(\texttt{[1]}\)：因为 LCT 的 makeroot 等操作需要翻转一棵树，使得 Treap 等平衡树均已不适用，但是 FHQ Treap 或许也可以维护，详见 https://immortalco.blog.uoj.ac/blog/2342。
\(\texttt{[2]}\)：引自 https://www.cnblogs.com/flashhu/p/8324551.html
\(\texttt{[3]}\)：引自 https://www.luogu.com.cn/blog/pks-LOVING/splay-chu-li-ou-jian-cao-zuo-fan-zhuai-cao-zuo-reverse
浙公网安备 33010602011771号