2025.04.13 DP 专题

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题单：https://vjudge.net/article/8396

ARC053D - 2 つの山札

题意：给定两个 \(n\) 阶排列 \(a_i\) 和 \(b_i\)。重复 \(2n-2\) 次操作：选择 \(a\) 与 \(b\) 之中长度不为 \(1\) 的一个，将选中序列第一个数字删除，未选中序列第一个数字加入 \(c\) 序列末尾（不删除）。求可能的 \(c\) 序列数量，对 \(10^{9}+7\) 取模。

\(1\le n\le 1000\)。

解法：用 DP 来解决这个问题。

设 \(p=a^{-1},q=b^{-1}\)。考虑如果知道 \(c_i\) 的值，这个 \(c_i\) 可能来自 \(a\) 中，也可能来自 \(b\) 中。

如果来自 \(a\) 中，那么 \(a\) 序列中 \(p_{c_i}-1\) 已经被删完了，也就是选中 \(a\) 序列恰好 \(p_{c_i}-1\) 次。由于填入的是第 \(i\) 个数，总共操作次数是 \(i\) 次，所以选中 \(b\) 序列的次数为 \(i-(p_{c_i}-1)\) 次。这样，我们就能确定 \(a\) 和 \(b\) 剩下的是什么。也就是说，操作 \(i\) 次后，\(a\) 和 \(b\) 序列剩下的形态只和 \(c_i\) 以及这个 \(c_i\) 来自哪个序列有关。

考虑将 \(c_i\) 与其来自哪个序列设进状态中。设 \(f_{i,j,0/1,0/1}\) 表示 \(c\) 序列前 \(i\) 位已经确定，而 \(c_{i}=j\)，\(c_i\) 是否可能来自 \(a\)，\(c_i\) 是否可能来自 \(b\)。

当前两维相同，而后两维不同时，需要对应 \(c\) 的前 \(i\) 位不同的方案，这样就保证不会算重。

根据后两维，可以确定 \(a\) 和 \(b\) 序列的形态，就可以知道 \(i+1\) 可能的情况只有 \(O(1)\) 种。稍微讨论一下就可以 \(O(1)\) 转移了。

我觉得一些计数题比较核心的想法还是要求同一个阶段的 DP 状态对应方案的前几个阶段的情况必定互不相同，来避免算重。

USACO24JAN - Merging Cells P

题意：有 \(n\) 个细胞，第 \(i\) 个大小为 \(a_i\)。每一次随机选择两个 相邻 细胞合并，合并后细胞的大小为两细胞大小之和，合并后编号为较大的细胞的编号（如果大小相同则取编号较大的）。求第 \(i\) 个细胞成为最终细胞的概率。

\(1\le n\le 5000\)。

解法：正难则反。考虑反过来，从最后的细胞 \([1,n]\) 拆分。可以认为这个过程是：将大区间拆成两个小区间，保留其中和最大的一个（如果和相同保留右边）。可以进行区间 DP。

设 \(f_{l,r}\) 表示最后答案由区间 \([l,r]\) 贡献的概率，边界为 \(f_{1,n}=1\)。转移时枚举断点 \(k\)，拆分乘两个区间，可以做到 \(O(n^3)\)。如果填表转移加上前缀和优化可以做到 \(O(n^2)\)。

核心：正难则反。

EGOI 2022 - Lego Wall / 乐高墙

题意：要用乐高积木拼乐高墙。有 \(1\times 1\) 和 \(1\times 2\) 两种规格，不能旋转积木。要求拼出 \(n\times m\) 的墙，使得墙没有洞且连通。求方案数，对 \(10^{9}+7\) 取模。

\(1\le n\le 2.5\times 10^{5},1\le n\times m\le 5\times 10^{5}\)。

解法：用两种算法，平衡复杂度。

算法 1：容斥，设 \(f_i\) 表示 \(i\) 列积木墙的方案数（不要求连通），设 \(g_i\) 表示要求连通。则有 \(f_i\) 是第 \(i\) 个斐波那契数的 \(m\) 次方，和

\[g_{i}=\sum_{j=1}^{m-1}f_{m-j}g_{j} \]

即考虑之前已经形成了一个完整的 \(j\) 列连通块。复杂度 \(O(n^2)\)。

算法 2：设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 列填完，第 \(i\) 列还有 \(j\) 行突出，则

\[f_{i,j}=\sum_{k=1}^{m-j}f_{i-1,k}\binom{m-k}{j} \]

则可以得到一个 \(O(nm^2)\) 的做法。

平衡两算法得到 \(O(nm^{\frac{4}{3}})\) 的算法。

核心：容斥，平衡复杂度。

Levenshtein Distance

题意：给定两个串 \(S\) 和 \(T\)，对于每一个 \(0\le i\le k\)，求 \(T\) 子串中，与 \(S\) 串编辑距离恰好为 \(i\) 的数量。

\(1\le \vert S\vert,\vert T\vert \le 10^{5},0\le k\le 30\)。

解法：不知道怎么想到的，对我来说非常困难的神秘 DP。

枚举 \(T\) 的一个后缀 \(T'\)，求所有 \(T'\) 的前缀的贡献。

设 \(f_{i,j}\) 表示最大的 \(x\) 使得 \(S_{1...x}\) 与 \(T'_{1...x+j}\) 的编辑距离不超过 \(i\)。如果对于大的 \(x\)，编辑距离不超过 \(i\)，那么显然对于小的 \(x\)，编辑距离也不会超过 \(i\)。

转移考虑：\(f_{i,j}\) 先匹配一段，加上 \(\operatorname{lcp}(s_{f_{i,j}+1...\vert S\vert},T'_{f_{i,j}+j+1...\vert T'\vert})\)，这一步可以用 SA+KMP \(O(1)\) 求出。再进行转移：删除一个字符，转移到 \(f_{i+1,j+1}\)；修改一个字符，加一之后转移到 \(f_{i+1,j}\)；插入一个字符，加一之后转移到 \(f_{i+1,j-1}\)。

这个 DP 的状态数是 \(O(k^2)\) 级别的，转移是 \(O(1)\) 的。记 \(g_j\) 表示 \(T'_{1...\vert S\vert+j}\) 与 \(S\) 的编辑距离。求得 DP 数组后，对于 \(f_{i,j}=\vert S\vert\) 的 \((i,j)\)，有 \(g_{j}=i\)，全部取 \(\min\)。然而由于 \(f\) 数组记录的是最长的，所以有一些可能会被遗漏，所以再用 \(g_{j}=\min(g_{j},g_{j+1}+1)\) 来转移一下，最后统计答案。