数学分析笔记

命题 1.2.1：若 \(n\) 为正整数且 \(n\) 不为完全平方数，则 \(\sqrt{n}\) 是无理数。

证明

1. （反证法）传统证明法：奇数次幂与偶数次幂矛盾

   假设 \(\sqrt{n}=\frac{p}{q},(p,q)=1\)，两边同时平方得到 \(n=\frac{p^2}{q^2}\)，同时乘上 \(q^2\) 得到 \(q^2n=p^2\)。

   对 \(n\) 进行唯一分解。由于 \(n\) 不为完全平方数，其唯一分解中存在质数的奇次幂 \(x^y\)。设 \(q\) 中 \(x\) 的指数为 \(a\)，\(p\) 中 \(x\) 的指数为 \(b\)。在等式左侧，\(x\) 的指数为 \(2a+y\)，是奇数；在等式右侧 \(x\) 的指数为 \(2b\)，是偶数，等式不成立。原命题得证。

2. （反证法）讲义上的方法：

   由于 \(n\) 不为完全平方数，设 \(k^2\lt n\lt(k+1)^2\)。则 \(\sqrt{n}=k+\frac{p}{q},(p,q)=1,0\lt p\lt q\)，平方得到 \(n=k^2+\frac{p^2}{q^2}+2k\frac{p}{q}\)。整理得到 \(p^2=q(qn-qk^2-2kp)\)，设 \(l=qn-qk^2-2kp\)，则 \(p^2=ql\)。

   原始证明中，将这个等式改写成 \(\frac{p}{q}=\frac{l}{p}\)，注意到分母在减小，而分母是正数，不能无限减小，所以产生矛盾。

   但是经过询问 AI（Deepseek-R1），AI 指出这个等式蕴含了 \(q\mid p^2\)（注意 \(q\) 和 \(l\) 显然都不为 \(0\)），而又 \((p,q)=1\)，所以 \(q=1\)，故 \(\sqrt{n}=k+p\)，是完全平方数，与假设矛盾。