不归之人与望眼欲穿的人们

P5065 [Ynoi2014] 不归之人与望眼欲穿的人们

wtc 讲的 \(n\log^{3}\) 做法。Orz

题目大意

给定一个长为 \(n\) 的数组 \(a\)，有 \(m\) 次操作，每次操作形如：

• 1 i x 表示将 \(a_i\) 修改为 \(x\)。
• 2 k 表示查询最小的 \(l\)，使得存在一个长度为 \(l\) 的区间或和大于等于 \(k\)。无解输出 -1。

\(0\le a_i,k\le 2^{30}\)，\(1\le n,m\le 5\times 10^{4}\)。

解法

首先有经典结论：对于一个固定的右端点，只有 \(\log_2 a\) 个或和不同的区间。因为左端点越向左，或和每一个二进制位只会由 \(0\) 变 \(1\)，最多变化 \(\log a\) 次。

在一棵线段树上，每个节点维护这个节点表示的区间，前缀或和不同的区间，后缀或和不同的区间。

再维护一棵下标为长度，值为或和最大值的线段树，查询时只需要在线段树上二分即可。底层需要用 set 或其它什么东西维护一下，因为可能会有删除操作。

第一棵线段树合并儿子时，将左儿子的后缀和右儿子的前缀两两配对合并，加入到第二棵线段树上。注意这时要记得去重，笔者去重写错获得 \(95\) 分，还以为常数太大了。修改时直接递归到底层修改，然后往上合并即可。注意只修改包含修改位置的区间。

分析一下复杂度，下面认为 \(n\) 和 \(m\) 同阶：建树时有 \(O(n)\) 个节点，每一个节点合并出 \(O(\log^2)\) 个区间，这些区间在第二棵线段树上修改，每一次修改是 \(O(\log n)\) 的：\(O(\log n)\) 时间找到对应叶子，\(O(\log n)\) 时间插入到底层数据结构中。修改时，由于只对包含修改点的区间进行修改，包含这个点只有 \(O(\log^2 n)\) 个区间，故修改复杂度也是正确的。查询是 \(O(\log n)\) 的线段树二分。

实际写出来由于常数过大，会 T 掉一个点。可以将第二棵线段树换成一个分块套对顶堆，理论复杂度退化，但由于常数很小，可以通过。

块长越大，询问越快，修改越慢，最后一个点修改非常多，其它点询问多。故块长调大一些能够获得更少的总用时，在块长为 \(128\) 时笔者的代码最快。

提交记录

总用时 1.59s