AtCoder AGC 做题记录

AGC 做题记录

AGC001-099

AGC005C

非常好的题目。

题意：需要判定是否存在一棵树，满足点 \(i\) 到其最远点距离为 \(a_i\)。

解法：

\(1\le n\le 100\)

这个数据范围极具迷惑性，因为这题做法是线性的。最远点首先想到直径，假设直径长度为 \(d\)，那么，\(\lfloor \frac{d+1}{2}\rfloor\) 到 \(d\) 是直径上点的 \(a\) 的范围。计算每一个值的出现次数，若出现了小于 \(\lfloor \frac{d+1}{2}\rfloor\) 的必然不合法。中间的两个点的出现次数需要特判，其余点不得少于两个。

https://atcoder.jp/contests/agc005/submissions/59250106

AGC008F

给定一棵 \(n\) 个节点的树，每一个节点有一个权值 \(0\) 或 \(1\)。问有多少个本质不同的树上集合，满足其是某一个权值为 \(1\) 的点的 \(d\) 邻域。点 \(x\) 的 \(d\) 邻域定义为所有到 \(x\) 的距离不超过 \(d\) 的点的集合。称 \(d\) 为邻域的半径。

\(1\le n\le 2\times 10^{5}\)

部分分：所有集合的权值均为 \(1\)。

解法：

子树的深度定义为最深点到子树根的路径上的边数。

先考虑部分分怎么做。此时即要求树上有多少个本质不同的邻域。

先考虑邻域为全集的情况。为了不让全集被计算多次，我们限定每一个点的邻域不能为全集，最后答案加上全集。若点 \(i\) 的子树中最深的深度为 \(f_i\)，次深子树的深度为 \(g_i\)，那么显然邻域半径必须小于 \(f_i\)。

考虑两个邻域何时会算重：若树上有一条边 \((u,v)\)，假设 \(u\) 是根。若 \(v\) 的 \(d\) 邻域覆盖了整个 \(u\) 除 \(v\) 以外的子树，那么这个邻域与 \(u\) 的 \(d-1\) 邻域是相同的，且 \(v\) 必定是 \(f_u\) 所在的子树（否则无法覆盖其余子树）。这启示我们，对于每一个邻域，在使其半径最小的中心计算。容易发现，半径最小时，邻域的中心是确定的。

考虑每一个点 \(i\) 为根，考虑其作为邻域的中心时对答案的贡献。其为邻域中心时，其半径不能太大。设其最大半径为 \(d\)，则 \(f_u\) 方向儿子的 \(d-1\) 邻域不能覆盖 \(u\) 的其它所有儿子。其它儿子中最远的到 \(v\) 点距离是 \(g_u+1\)，即 \(d-1< g_u+1\)，解得 \(d< g_u+2\)。\(d\) 再和 \(f_u-1\) 取 \(\min\)，防止取到全集。\(i\) 的邻域半径即为 \([0,\min(f_u-1,g_u+1)]\)。

当有一些点权值为 \(0\) 的时候，其合法邻域半径的下界不再是 \(0\)。但是有一些合法邻域仍然以 \(i\) 的中心，仍然在 \(i\) 计算这些合法邻域的贡献。

以 \(i\) 为根，若 \(val_i\) 为 \(1\)，直接套用部分分的做法。否则，有 \(i\) 可能有半径大于等于某个值 \(d\) 的邻域也是合法的。考虑如何求这个 \(d\)。以 \(i\) 为根时，若某个儿子 \(v\) 的子树中存在 \(val\) 为 \(1\) 的点，则当 \(d\ge f_v+1\) 时，这个点的 \(d\) 邻域的中心就是 \(i\) 了。所以只要求出 \(h_i\) 表示 \(i\) 点所有儿子中，有可选点的最深子树的深度最小值。

那么可行半径范围就是 \([h_i,\min(f_i-1,g_i+1)]\)。

换根 DP 即可求出答案。

AGC059A

题意：给定一个仅由 ABC 构成的字符串，每一次操作可以将一段区间中的 ABC 按照某一个排列轮换。有 \(Q\) 次询问，每一次问至少多少次操作将这段区间全部变为全部相同。

\(1\le N,Q\le 10^{5}\)。

解法：

解法：连续一段相等的称为一段。考虑每一次操作，至多只能减少两个段（不知道证明）。当 \(N\ge 5\) 时可以找到一种操作方式使得达到这个上界。当 \(N=4\) 时需要两次操作，\(N=3\) 时，若两端相等，只要 1 次，否则要两次操作。