AtCoder ARC 做题记录

ARC 做题记录

ARC001-099

ARC069F

题意：给定 \(n\) 组数 \((x_i,y_i)\)，要求从每一组中选出一个数，使得相差最小的两个数差值最大。求最大差值。

\(1\le n\le 10^{4},1\le x_i,y_i\le 10^{9}\)

解法：

直接二分答案。二选一直接 2-SAT，直接建边会炸就线段树优化。

具体来说，将 \(x_i\) 和 \(y_i\) 一起排序，建立一棵叶子的权值有序的线段树，如果叶子表示 \(x_i\)，就连一条边到 \(y_i\) 代表的点。那么二分 \(mid\) 之后，\(x_i\) 向 \((x_i-mid,x_i+mid)\) 连边即可。

ARC075E

这大水题吧。

题意：给一个长度为 \(N\) 的序列 \(a\)，求有多少个区间的平均值不小于 \(K\)。

\(1\le N\le 2\times 10^{5}\)

解法：

平均值，直接将 \(a_i\) 减去 \(K\)，问题转化为多少个区间满足区间和非负。考虑固定右端点，对左端点计数。左端点需要满足前缀和小于等于右端点的前缀和，这是一个二维数点问题。

submissions

ARC100-199

ARC107E

有一个 \(n\times n\) 的矩形 \(A\)，给定这个矩形的第一行和第一列。\(A_{i,j},i>1,j>1\) 定义为 \(\operatorname{mex}\{A_{i-1,j},A_{i,j-1}\}\)。给定第一行第一列中只有 \(0\) 或 \(1\) 或 \(2\)，容易证明整个矩阵中也只有这三种数字。求矩阵中有多少个 \(0\)，\(1\)，\(2\)。

\(1\le n\le 500,000\)

解法：

打表发现，对于 \(i>5\) 且 \(j>5\) 有 \(a_{i,j}=a_{i-1,j-1}\)，具体证明需要一些性质，比较繁琐。所以只需要将前五行和前五列求出来简单计算即可。

Submission

ARC107F

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每个点有权值 \(a_i\) 和 \(b_i\)，定义一个连通块的权值为 \(b\) 之和的绝对值。可以删去任意个点，删去点 \(i\) 代价为 \(a_i\)，求总权值减去总代价的最小值。

\(1\le n,m\le 300\)。

解法：

点 \(i\) 有三种可能：贡献为 \(b_i\)，贡献为 \(-b_i\)，贡献为 \(-a_i\)。

建立最小割模型：先将答案加上 \(\sum a_i\)，然后减去最小割。

将 \(i\) 拆成两个点 \(i'\) 和 \(i''\)，从源点向 \(i'\) 连接一条权值为 \(a_i-b_i\) 的边，从 \(i''\) 向汇点连接一条 \(a_i+b_i\) 的边，\(i'\) 和 \(i''\) 之间连接一条无穷的边。表示如果删掉第一条边，贡献为 \(b_i\)，第二条边类似，两条边都删去贡献为 \(-a_i\)。

但是还要求同一个连通块中的贡献的 \(b\) 的符号是相同的，所以对于一条边 \((u,v)\)，从 \(u'\) 向 \(v''\) 连一条无穷的边，这样可以限制 \(u\) 和 \(v\) 都割了相同类型的边。\(v'\) 到 \(u''\) 同理。

这样网络中可能有负权边，负权边直接割掉肯定不劣。

Submission

ARC147C

好题，做法挺妙的。

题意：

给定 \(n\) 个限制 \((l_i,r_i)\)，要求选定 \(n\) 个变量满足 \(l_i\le x_i\le r_i\)。使得下列式子最小化：

\[\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\lvert x_i-x_j\rvert \]

求该式子最小值。

\(n\le 3\times 10^{5}\)

解法：

设 \(l\) 中最大值为 \(X\)，\(r\) 中最小值为 \(Y\)，则，

• 若 \(x\le y\)，那么所有 \(l\) 均小于等于 \(X\)，所有 \(r\) 均大于等于 \(Y\)，取任一 \(X\le x_i\le Y\)，所有数均能取到此值，答案为 \(0\)

• 否则，则必然所有 \(x_i\) 都在 \((Y,X)\) 之间。考虑若 \(x_i<Y\)，由于其右端点必定大于等于 \(Y\)，则必定可以将其调整到 \(Y\) 位置，答案不会变得更劣。同理若 \(x_i>X\)，也可以将其调整到 \(X\)。

  设 \(X\) 和 \(Y\) 所代表区间分别为 \(L\) 和 \(R\)，除了 \(L\) 和 \(R\) 以外的区间，两两之间的贡献设为 \(C\)，则原式可以拆成

  \[\sum_{i\not=L,R} (x_i-Y)+\sum_{i\not=L,R} (X-x_i)+(X-Y)+C \]

  此时除了 \(C\) 以外的贡献为 \((n-1)(Y-X)\)，显然，需要最小化 \(Y-X\)。将 \(r\) 降序排序，\(l\) 升序排序，对应位置组合，就能得到最小贡献。

  \(C\) 的贡献相当于一个子问题，可以重复解决。

  实际写代码其实非常简便，可以参考提交记录。

Submissions

洛谷双倍经验题

ARC153C

非常好的构造题。

题意：给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(a_i\)，\(a_i\in \{0,1\}\)，需要构造一个 严格递增 序列 \(b_i\)，满足 \(\left | b_i \right | \le 10^{12}\)，并且 \(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i=0\)，或者报告无解。

解法：

调整。首先钦定 \(b_i=i\)，可以得到一个和 \(S\)。若要保证 \(b\) 序列递增的性质，必定要调整 \(b\) 序列的一个前缀减或后缀加。

例如 \(S>0\) 时，可以找到 \(a\) 的一个前缀和为 \(1\) 的区间，将其区间减 \(S\)，或是找到一个后缀和为 \(-1\) 的区间，将其区间加 \(S\)。这样必定是充分的。

如果找不到，就是无解。因为 \(a\) 的前缀和是连续的，若存在一个前缀和大于 \(0\)，则必然存在前缀和等于 \(1\)。若不存在前缀和等于 \(1\)，说明前缀和均为非正数，无论如何操作，都不能使得前缀和减小，故必要性得证。

Submissions

ARC164D

题意比较复杂，但是梳理完之后其实并不困难。大概是说若 \(s\) 是一个 \(+\) 和 \(-\) 组成的字符串，定义 \(p(s)\) 是这个字符串有关的一个问题的解。给定一个某些位置是 \(?\) 的字符串，求可能的 \(p\) 之和。

解法：

乍一看比较困难，但是认真梳理一下，发现每一个点的方向是确定的，点 \(i\) 的方向为右等价于其左侧同色个数大于等于异色个数。再发现向右的点对 \(p\) 的贡献是 \(-i\)，向左是 \(i\)，那么直接 DP 就可以了。设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个位置填完了，有 \(j\) 个点是 +，的答案，设辅助 \(g_{i,j}\) 表示方案数。

submission

ARC167F

给 \(n\) 个括号串，求是否能重排之后拼起来形成合法括号序。

解法：

很显然是贪心，但是刚开始做的时候不加证明，直接 WA 了 3 发，浪费了很多时间。最后看了洛谷题解。

首先，同一个串内，如果有 () 可以直接消除。那么每个串都形如 )))((( 的形式，即一段前缀 ) 和一段后缀 ( 拼起来。

直接贪心，若左括号个数更多，将其放在第一类中，否则放在第二类。那么第一类显然放在第二类左侧。考虑第一类之间，右括号少的尽可能放在左侧；第二类之间，左括号少的尽可能放在右侧。

拼起来之后判一下合法即可。

https://atcoder.jp/contests/abc167/submissions/59133602

ARC179D

题意：给定一棵 \(N\) 个节点的树，要求在上面行走。可以进行下列操作，初始门和人在同一个任意节点：

• 从一个点移动到另一个点。

• 将门设置在当前节点

• 传送到门

第一个操作花费 1 代价，后两个操作不花费代价，要求将所有节点至少遍历一次，求最小代价。

\(1\le N\le 2\times 10^{5}\)

解法：

解法：注意到一定是按照 DFN 序进行遍历。更具体地，每一次进入一个子树之后，在遍历完子树之前不会跳出来，因为不会更优。

遍历完子树回到父亲时，可以将门设置在父亲处，这样不会影响遍历兄弟。所以各子树是独立的，启示进行树形 DP。

注意到最后不必回到出发点，设 \(f_u\) 表示遍历完 \(u\) 子树不回到根，\(g_u\) 表示遍历完 \(u\) 子树而回到根。那么有转移

\[g_u=\sum\min(g_v+2,h_v) \]

\[f_u=\sum \min(g_v+2,h_v)+\min(\min(f_v+1,h_v)-\min(g_v+2,h_v)) \]

其中 \(h_u\) 表示以 \(2\times sz_u-maxdep_u-1\)，叶子结点的 \(maxdep\) 为 \(0\)。\(h_u\) 意味着将传送门设置在 \(u\) 节点，按照 dfn 序遍历完所有节点后停留在最深的节点，然后跳转到 \(u\)。

定根之后可以得到以根为起始点的答案。换根 DP 即可。但是很 shit。

Submissions

ARC189B

好题。

给定一个长为 \(N\) 的序列 \(X_i\)，可以进行任意次操作，每一次操作：

• 选定一个位置 \(i\)，记 \(X_i\) 和 \(X_{i+3}\) 的中点为 \(M\)，将 \(X_{i+1}\) 和 \(X_{i+2}\) 关于 \(M\) 对称翻转。

求经过任意次操作后，所有 \(X_i\) 的和的最小值。

\(4\le N\le 2\times 10^{5}\)

\(0\le X_1<X_2<\cdots<X_N\le 10^{12}\)

解法：

不知道哪个天才想到，这个操作的本质是将 \(i+1\) 和 \(i+3\) 的差分值交换。

于是操作变为将差分数组中奇偶性相同的两个位置交换。于是分成奇数和偶数分别排序，就能得到最小答案。

ARC190B

有一个 \(N\times N\) 的矩形，定义 \(K\) 阶 \(L\) 形为一个 \(K\times K\) 的矩形的最左（或右）侧一行与最上（下）面一列组成的图形。显然使用 \(1\) 到 \(N\) 阶 \(L\) 形个恰好一次可以将 \(N\times N\) 的矩形覆盖。

给定 \(a\) 和 \(b\)，有 \(q\) 次询问，第 \(i\) 次询问给定 \(k_i\)，求 \((a,b)\) 被 \(k_i\) 阶 \(L\) 形覆盖的方案数。

\(1\le N\le 10^{7},1\le Q\le \min\{N,2\times 10^{5}\}\)。

解法：

考虑 \(1\) 到 \(k\) 阶 \(L\) 形必定组成一个 \(k\times k\) 的矩形。

考虑 \((a,b)\) 出现在 \(k\) 阶 \(L\) 形上的条件：其必须在这个 \(k\times k\) 的矩形的边上或角上。

考虑矩形内部的贡献：

• 当 \(k=1\) 时，只有 \(1\) 种方案。
• 当点在角上的时候，有 \(3\times 4^{k-2}\) 种方案。
• 当点在边上的时候，有 \(2\times 4^{k-2}\) 种方案。

再考虑矩形外部的方案数：每一个 \(k+1\) 到 \(n\) 阶的 \(L\) 形可以选择在这个矩形的上面覆盖或下面覆盖，在矩形的左侧覆盖或右侧覆盖，且这两种选择独立。假设我们希望 \(k\times k\) 矩形的左上角为 \((x,y)\)，那么方案数就是 \(\binom{n-k}{x-1}\binom{n-k}{y-1}\)，即在未选择的 \(L\) 形中选择一些放在左侧或上面。

矩形的左上角是什么呢？当 \((a,b)\) 在角上的时候，左上角显然是确定的，且只有 \(O(1)\) 个，可以直接计算。

当 \((a,b)\) 在边上的时候，假设在 \(k\times k\) 矩形的上边，其它情况同理。则矩形左上角为 \((a,i)\)，需要满足 \(b\in [i+1,i+k-2]\)，即 \(b+2-k\le i\le b-1\)。列的方案数是 \(\sum_{i=b+2-k}^{b-1}\binom{n-k}{i-1}\)，即 \(\sum_{i=b+1-k}^{b-2}\binom{n-k}{i}\)。即 \(f_k\) 等于这个式子，那么总方案数是 \(\binom{n-k}{a-1}f_k\)。

考虑如何计算 \(f_k\)，\(k\) 从大到小枚举，这是很经典的一行组合数的一个区间移动到下一行，只要乘二之后减去一些即可。

Submission

ARC193A - Complement Interval Graph（Difficulty: 1234）

一开始看错题了，四十几分钟的时候模样例发现不对劲，仔细一看发现看成只能走相交的区间了。

容易发现，最多只会经过四个区间，只需要离线询问处理出满足一些限制的区间中 \(w\) 最小的即可。

ARC193B - Broken Wheel（Difficulty: 2420）

由于总度数一定，当 \(0\) 到 \(n-1\) 的入度确定时，\(n\) 的度数被唯一确定。所以只需要关心 \(0\) 到 \(n-1\) 有多少种可能的度数序列。

先不考虑环边 \((n-1,0)\)。设 \(f_{i,0/1/2}\) 表示，已经确定了 \(0\) 到 \(i-1\) 的度数，有多少个合法的度数序列。合法的度数序列满足存在一种给 \((0,1),(1,2),\cdots,(i-1,i)\) 这些边与所有形如 \((j\lt i,n)\) 的边定向的方式，使得 \(0\) 到 \(i-1\) 的度数与这个度数序列相等。

第二维的 \(0\) 表示 \(i-1\) 与 \(i\) 之间的边定向为 \(i-1\leftarrow i\)，\(1\) 表示定向为 \(i-1\rightarrow i\)，\(2\) 表示两种定向方式都能使得度数序列合法。

考虑从 \(i-1\) 转移到 \(i\)，那么需要确定 \(i\) 与 \(i-1\) 这条边的方向，此时会确定 \(i-1\) 的度数。

考虑枚举 \(i-1\) 的度数。若 \(i-1\) 度数为 \(0\)，那么 \(i-1\) 与 \(i-2\) 之间的边必须为 \(i-2\leftarrow i-1\)，\(i\) 与 \(i-1\) 的边必须为 \(i-1\leftarrow i\)。故从 \(f_{i-1,0/2}\) 转移到 \(f_{i,0}\)。

其它情况以此类推，注意考虑 \(s_{i-1}=1\) 时，可能 \(i\) 与 \(i-1\) 之间的边两种都可以选择。即可得到转移。

最后考虑上环边。只要最开始枚举 \(x\)，令 \(f_{0,x}\leftarrow 1\)，最后 \(f_{n,x}\) 就是答案。

还有一个问题是无论 \(x\) 枚举的是多少，都会算到度数全部为 \(1\) 的情况，这种情况会被算 \(3\) 次，所以答案要减去 \(2\)。

ARC199A - Flip Row or Col 2（Difficulty: 2285）

绝世好题。

有神秘限制，\(R_i,C_i\lt \frac{N}{4}\)。

先将第一行全部变成 \(0\)，那么要翻转恰好 \(R_1\) 列。接着考虑每一行，如果这一行 \(1\) 的数量超过一半，那么这一行一定要反转，否则由于只能翻转 \(R_1\lt \frac{N}{4}\) 列，所以不可能达到目标状态。于是行翻转已经确定完了，再考虑列，这题就做完咯。