组合数学小知识

加法原理：分类完成。如：一件事分为 \(n\) 类可能，每类共 \(a_i\) 种，一共 \(\sum a_i\) 种。

乘法原理：分步完成。如：一件事分为 \(n\) 步，每步共 \(a_i\) 种，一共 \(\prod a_i\) 种。

阶乘：\(n! = \prod i=1 \times 2 \times ... \times n\)。

排列数：从 \(n\) 个数中选出 \(m\) 个数，方案数与顺序有关的方案数；记作 \(\displaystyle A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\) 。

组合数：从 \(n\) 个数中选出 \(m\) 个数的方案数；记作 \(\displaystyle \binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{A_n^m}{n!}\)

抽屉原理：将 \(n\) 个物体分为 \(m\) 个组，则至少有一个组有至少 \(\displaystyle \lceil \frac{n}{m} \rceil\) 个。

容斥原理：有 \(n\) 个事件，所有 \(i\) 个事件的交集有 \(f_i\) 种，则 \(n\) 个事件的并集有 \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}{(-1)^i \cdot f_i}\) 。

组合数公式：

1. \(\displaystyle \binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\) 。从 \(n\) 个数中选出 \(m\) 个数和从 \(n\) 个数中不选 \(n-m\) 个数方案数一样。
2. \(\displaystyle \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}\) 。在杨辉三角上有体现，\(n^2\) 递推组合数
3. \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}}=2^n\) 。二项式定理可以解答。
4. \(\displaystyle \binom{n}{k}\binom{k}{m}=\binom{n}{m}\binom{n-m}{n-k}\) ，在 \(n\) 个中选 \(k\) 个，再在 \(k\) 个中选 \(m\) 个。相当于从 \(n\) 个中直接选 \(m\) 个，再从剩下 \(n-m\) 中选 \(n-k\) 个是第一轮没有选入的。
5. \(\displaystyle \sum_{i=0}^{k}{\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}}=\binom{n+m}{k}\) 。它叫范德蒙德卷积。将一块 \(n+m\) 的分成两块，枚举选取数量 \(i\) 。

范德蒙德卷积的推论：

1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}}=\binom{2n}{n-1}\) 。利用公式1
2. \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}^2}=\binom{2n}{n}\) 。也利用公式1

二项式定理：\(\displaystyle (x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}x^{n-i}y^i}\)

可重集排列：假设有 \(k\) 种，\(n\) 个元素，每种元素 \(a_i\) 个，一共有 \(\displaystyle \binom{n}{a_1,a_2...a_k}=\frac{n!}{\prod {a_i!}}\) 种排列方式（左边这个叫多重组合数）。先完全排列，在除去相同元素排列的种数。

可重集组合：有 \(k\) 种元素，挑出 \(n\) 个，一共 \(\displaystyle \binom{n+k-1}{k-1}\) 种。（考虑隔板法）

圆排列：\(n\) 个不同的物品选 \(m\) 个排列成一个圆。记作 \(\displaystyle Q_{n}^{m}=\frac{A_n^m}{m}=\frac{n!}{m \times (n-m)!}\)

错排列：\(n\) 个物品都不能放入对应的箱子里。解法1：设为 \(f_n\) ，\(f_n=(n-1)(f_{n-1}+f_{n-2})\) 。（讨论 \(n\) 放到哪里去了）解法2：\(\displaystyle f_n=n!-\sum_{i=0}^{n}{(-1)^i \binom{n}{i}(n-i)!}\) （考虑容斥原理）

Catalan数：类似于这样的问题：在平面直角坐标系中从 \((0,0)\) 走到 \((n,n)\) ，不允许穿过直线 \(y=x\) ，有多少种走法？解法1：\(\displaystyle C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_{i}\cdot C_{n-i-1}\) ，\(C_0=1\)。解法2：\(\displaystyle C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}\) 。