线性筛法&积性函数

目录

• 埃氏筛法
• 欧拉筛法
• 积性函数
  • 欧拉函数

线性筛主要考筛选质数和求积性函数。

埃氏筛法

这个不是线性筛，时间复杂度是 \(O(n \log \log{n})\) 。也可以以较高的效率筛选出质数。埃氏筛的思路简单。如果当前是质数，就枚举它的倍数，并都标记为合数。小优化：只要筛到 \(\sqrt{n}\) 就好了。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e8+5;
int n,q;
bool vis[N];
int p[5800005],cnt;
void prime(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i])continue;
        p[++cnt]=i;
        if(1LL*i*i>n)continue;
        for(int j=i*i;j<=n;j+=i)vis[j]=true;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    prime();
    while(q--){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        printf("%d\n",p[x]);
    }
    return 0;
}

欧拉筛法

这是常用的线性筛，时间复杂度 \(O(n)\) 。欧拉筛的核心是每个数只被它最小的质因子筛去，保证每个数只被筛一次。筛选的时候如何保证是最小的质因子？枚举质因子 \(j\) ，是从小到大的。当前的数 \(i\) 是倍数，所以筛选掉 \(p_j \times i\) 。如果出现 \(i \equiv 0 \pmod {p_j}\) ，就说明倍数 \(i\) 中已经出现因子 \(p_j\) 了，此时 \(p_j\) 仍然是最小质因子，但再往下枚举就不是了。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e8+5;
int n,q;
bool vis[N];
int p[5800005],cnt;
void prime(){
    vis[1]=true;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==false)p[++cnt]=i;
        for(int j=1;1LL*p[j]*i<=n&&j<=cnt;j++){
            vis[p[j]*i]=true;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    prime();
    while(q--){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        printf("%d\n",p[x]);
    }
    return 0;
}

积性函数

当 \(x \perp y\) 时，存在 \(f(xy)=f(x)f(y)\) ，那么 \(f\) 是积性函数。

如果 \(f(xy)=f(x)f(y)\) ，那么 \(f\) 是完全积性函数。

性质：

1. 如果 \(f, \ g\) 都是积性函数， 那么 \(f \cdot g\) 也是积性函数

2. 如果 \(f, \ g\) 都是积性函数， 那么他们的狄利克雷卷积 \(\displaystyle h(x)=\sum_{d|x}f(d) \cdot g(\frac{x}{d})\) 也是积性函数

常见的积性函数有：

1. \(\varphi (n)\) ：欧拉函数
2. \(\mu (n)\) ：莫比乌斯函数
3. \(d(n)\) ：\(n\) 的约数个数
4. \(\sigma(n)\) ：\(n\) 的约数之和
5. \(f(x)=x^k , \ (k \in \mathbb{R})\) ：幂函数

欧拉函数

小于等于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数量，记作 \(\varphi (n)\) 。

性质:

1. \(\varphi(1)=1\)
2. 如果 \(n\) 是质数，\(\varphi(n)=n-1\) 。如果 \(n\) 是合数，\(\varphi(n)<n-1\) 。
3. \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\) 。证明：小于等于 \(p^k\) 的正整数一共有 \(p^k\) 个。假设固定一个质因子 \(p\) ，枚举倍数 \(i\) ，此时 \(p \times i\) 一定不与 \(p^k\) 互质，共 \(p^{k-1}\) 个。
4. 欧拉定理：如果 \(a \perp m\) ，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\) 。所以费马小定理是欧拉定理的特例。
5. \(\displaystyle n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}\)

（未完成）