扩展欧几里得算法exgcd

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• 扩展欧几里得算法（exgcd）
• exgcd求乘法逆元

扩展欧几里得算法（exgcd）

欧几里得算法：求gcd。\(\gcd(x,y)=\gcd(y,x \mod y)\)

Code：

void gcd(int x,int y){
	if(y==0)return x;
    else return gcd(y,x%y);
}

扩展欧几里得是用来计算如下方程 \(x,y\) 的解：\(ax+by=gcd(a,b)\)

由欧几里得算法可知：\(ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a \mod b)\) ，\(bx_1+(a \mod b)y_1=\gcd(b,a \mod b)\) 。

递归欧几里得后，假设已经算出 \(x_1,y_1\) 。由上式可以推出 \(ax+by=bx_1+(a \mod b)y_1\) 。

\(\displaystyle bx_1+(a \mod b)y_1 = bx_1+(a-b \cdot \lfloor \frac{a}{b} \rfloor)y_1 = a \cdot y_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_1)\)

由此，可以算出当前的 \(\displaystyle x=y_1 \ ,y=x_1-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_1\) 。

在做欧几里得算到 \(b=0\) 时，就可以直接给出当前的 \(x,y\) 。\(x=1\) ，\(y\) 随意，最好是 \(0\) 。

Code：

void exgcd(int &x,int &y,int a,int b){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(x,y,b,a%b);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-(a/b)*y;
}

exgcd求乘法逆元

求逆元有两种方法。

一是用费马小定理，有 \(a^{p-2} \equiv a^{-1} \pmod{p}\) 。可以用快速幂求，但要求 \(p\) 是质数，且常数较大。

二是用 exgcd。要求 \(a^{-1} \equiv x \pmod{p}\) ，也就是 \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{p}\)，就是求 \(ax+py=1\) 的 \(x\) 。因为是求逆元，所以 \(\gcd(a,p)=1\) 。相当于求解 \(ax+py=\gcd(a,p)\) 。因为求出的 \(x\) 仅能满足等式，不一定在剩余系中，要处理。可以这么写：

x=(x%p+p)%p;