数论小知识

整除：\(\displaystyle \frac{n}{m} \in \mathbb{Z}\) ，说明 \(m\) 整除 \(n\) ，记作 \(m | n\) 。

因子/约数：如果 \(m | n\) ，那么 \(m\) 是 \(n\)​​ 的因子。

质数：如果 \(n\) 只有2个因子 \(1,n\) ，那么 \(n\)​​ 就是质数。

合数：不是质数的数。

质因子：\(m\) 是因子且 \(m\)​ 是质数。

算数基本定理：如果 \(n \in \mathbb{N}^+\) ，则仅有一种表达方式使 \(\displaystyle n = \prod_{i=1}^{k}{p_i^{c_i}}\) ，其中 \(p_i\) 是质因子，\(c_i \in \mathbb{N}\)​ ，是指数。

最大公约数 gcd：一些数共有的最大因子。

最小公倍数 lcm：一些数共有的最小倍数。

互质：如果 \(\gcd(n,m)=1\) ，就说 \(n,m\) 互质，记作 \(m \perp n\) 。互质的数没有相同的质因子。

\(\displaystyle \gcd(n,m)=\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{min(cm_i,cn_i)}\) （gcd质因子指数是 \(n\) ，\(m\) 质因子中指数更小的那个）。同理，\(\displaystyle lcm(n,m)=\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{max(cm_i,cn_i)}\)。因此，\(gcd(n,m) \times lcm(n,m) =n \times m\)

质数的密度：略大于 \(\displaystyle \frac{n}{\ln n}\) （就是质数在正整数 \(1 \sim n\) 出现的频率）。

调和级数前 \(n\) 项的和： \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{n}} \approx \ln(n+1)+ \gamma \ , \gamma \approx 0.577128\)

欧几里得算法：\(\gcd(n,m)=\gcd(m, \ n\mod m)\)

裴蜀定理：对于 \(a,b,x,y \in \mathbb{Z}\) ，存在 \(x,y\) 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 成立，或者说如果 \(ax+by=m\) ，则 \(m\) 一定为 \(\gcd(a,b)\) 的倍数。（可参考扩展欧几里得算法）

费马小定理：如果 \(p\) 为质数，则有 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) 。反过来，如果满足 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) ，则 \(p\) 很有可能是质数。如果不是质数称作费马伪素数。伪素数是无穷多的。

乘法逆元：在乘法剩余系中，与某个数相乘为 \(1\) 的就是逆元。如 \(a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{p}\) ，则 \(a^{-1}\) 就是 \(a\) 在 \(p\) 剩余系下的逆元。只有 \(a \perp p\) 时才存在逆元。