Sprague-Grundy函数

SG函数

在博弈论中，每个状态可以设为图中的一个节点，每次操作可以认为在图中转移。

mex()函数 ：对一个序列操作，返回其中第一个没有出现的自然数 (\(\mathbb{N}\))。

SG函数 ：代表每一个局面的状态，如果 \(sg_i=0\) 则必败，否则必胜。

求SG函数：设所有可以转移到状态 \(i\) 的为 \(j\) ，\(sg_i=mex(sg_j)\) 。

以bash游戏为例，如果 \(j\) 中没有 \(0\) ，则当前不能使对手失败，\(sg_i=0\) ，必败；否则 \(sg_i\) 不为 \(0\) ，必胜。

SG定理

如果大游戏是由多个独立的小游戏构成，则 \(sg=sg_1 \oplus sg_2 \oplus ... \oplus sg_n\) （总=分异或和）。

分析（类似 Nim游戏）：如果各个小游戏都是 \(0\) ，异或和就也是 \(0\) ，此时已经失败了。假设异或和不是 \(0\) ，比如 \(sg_1=7\) ，就说明 \(sg_1\) 的后继 \(0 \sim 6\) 都能取到，可以取任意值且使 \(sg_1\) 减小。作为先手，总是有办法使得最后的总异或和为 \(0\)，而后手总是面对总异或和为 \(0\) 的局面，只能使总异或和不为 \(0\) 。因此总异或和为 \(0\) 必败，否则必胜。

例#1 hdu1848 Fibonacci again and again

一共有 \(3\) 堆石子，数量分别是 \(m, n, p\) 个。两人轮流走，每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走 \(w\) 个，\(w\) 只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）。最先取光所有石子的人为胜者。（\(1 \leqslant n,m,p \leqslant 1000\)）

做法：斐波那契数量级较大，小于 \(2^i\) 。\(3\) 堆石子就是三个小游戏。先求出所有数的 \(sg\) 值（复杂度约为 \(O(n \log n)\)） ，再异或起来判断是否为 \(0\) 。

例#2 P2148 [SDOI2009] E&D

小 E 与小 W 进行一项名为 E&D 游戏。

游戏的规则如下：桌子上有 \(2n\) 堆石子，编号为 \(1 \sim 2n\)。其中，为了方便起见，我们将第 \(2k-1\) 堆与第 \(2k\) 堆（\(1 \le k \le n\)）视为同一组。第 \(i\) 堆的石子个数用一个正整数 \(S_i\) 表示。

一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于 \(0\)。显然，被分割的一堆的石子数至少要为 \(2\)。两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为 \(1\)，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。

\(1 \le T \le 20\)，\(1 \le N \le 2 \times 10^4\) 且 \(N\) 为偶数，\(1 \le S_i \le 2 \times 10^9\)。

做法：明显 \(2k-1,\ 2k\) 为一组，求出 \(sg_{i,j}\) 再异或即可求出答案。这是一个注意力题，对前面的 \(sg\) 打表发现 \(sg_{i,j}\) 为 \((i-1)|(j-1)\) 的二进制下第一个 \(0\) 出现的位置。

例#3 P3185 [HNOI2007] 分裂游戏

该游戏的规则是： 共有 \(n\) 个瓶子， 标号为 \(0, 1, \ldots, n-1\)，第 \(i\) 个瓶子中装有 \(p_i\) 颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择 \(3\) 个瓶子，标号为 \(i,j,k\), 并要保证 $i \lt j $ 且 \(j \leq k\)，且第 \(i\) 个瓶子中至少要有 \(1\) 颗巧克力豆，随后这个人从第 \(i\) 个瓶子中拿走一颗豆子并在 \(j,k\) 中各放入一粒豆子（\(j\) 可能等于 \(k\)） 。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！

两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为了必胜，第一步有多少种取法？

\(1 \leq t \leq 10\)，\(2 \leq n \leq 21\)，\(0 \leq p_i \leq 10^4\)，

做法：这个题并不是常规的拆解方法。不能按照瓶子拆解，因为移动一个瓶子后会影响其他瓶子。按照每个豆子的位置作为游戏。为了方便，将 \(0 \sim n-1\) 全部倒置。设 \(sg_i\) 为当前豆子在 \(i\) 位置时的局面。讨论后继，拿走当前豆子，会出现两个豆子，放到 \(i\) 前面的位置。可以将分裂拆成两个小游戏，自然 \(sg_i=mex(sg_j \oplus sg_k)\) 。最后，判断 \(p_i\) 奇偶性求最终局面是否必胜。如果先手胜，对 \(i,j,k\) 操作后轮到后手，此时最终 \(sg\) 应为 \(0\) 。枚举第一步操作的 \(i,j,k\) ，对总 \(sg\) 异或判断是否为 \(0\) 。