博弈论问题

一般考察公平组合游戏

什么是公平组合游戏

特点有：

1. 两玩家轮流行动，方式一致；
2. 两玩家对游戏完全了解，完全理性
3. 一定会在有限步数内结束，一方胜利，一方失败
4. 以一方无法行动为结束

所以，只要知道某个局面，就能推断出胜负情况。

Bash 游戏

问题：一共 \(n\) 个石子，轮流拿，每次拿 \(1 \sim m\) 个，最后取的胜利。

结论：如果 \(n \equiv 0 \pmod{m+1}\) ，则后手必胜，否则先手胜。

分析：假如此时是先手胜的情况，就拿取一定个数使得 \(n \equiv 0 \pmod{m+1}\) ，将自己转化为后手且必胜的局面。作为后手，不论先手去 \(1 \sim m\) 中的多少个，只要后手取完后仍然满足 \(n \equiv 0 \pmod{m+1}\) 即可胜利。

例：洛谷P4018 Roy&October之取石子

共有 \(n\) 个石子，两人每次都只能取 \(p^k\) 个（ \(p\) 为质数，\(k\) 为自然数，且 \(p^k\) 小于等于当前剩余石子数），谁取走最后一个石子，谁就赢了。

其中 \(1 \sim 5\) 都可以取。如果 \(x \equiv 0 \pmod{6}\) ，则后手必胜。 \(x=6k=2 \cdot 3 \cdot k\) ，这一定是无法被 \(p^k\) 表示的。所以当 \(x \equiv 0 \pmod{6}\) 时，先手取后一定不是 \(6\) 的倍数，后手取 \(1 \sim 5\) 中的一个使得剩余仍然为 \(6\) 的倍数。

Nim 游戏

洛谷P2197 【模板】Nim 游戏

问题：一共有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆有 \(a_i\) 个，每次每人可以某一堆拿取任意多个石子，最后一次拿取的人获胜。

结论：如果 \(\oplus_{i=1}^{n}a_i =0\) ，则后手必胜；否则先手必胜。

分析：如果取完，异或和为 \(0\) ，此时失败；取完前，如果异或和为 \(0\) ，则拿取后异或和必然不为 \(0\) 。（每一位有偶数个 \(1\) 时，异或和为 \(0\) 。任意拿取，一定会改变某一位奇偶性）。如果异或和不为 \(0\) ，拿取后可以为 \(0\) 。（假设异或和最高位为第 \(k\) 位，找到有第 \(k\) 位的数字，可以通过取一定的数字使得每一位为偶数个 \(1\) ）。

如果开局异或和为 \(0\) ，后手总是能控制对方遇到异或和为 \(0\) 的情况，必胜。

例：P4279 [SHOI2008] 小约翰的游戏

桌子上有 \(n\) 堆石子，轮流取石子，每个人取的时候，可以随意选择一堆石子，在这堆石子中取走任意多的石子，但不能一粒石子也不取，我们规定取到最后一粒石子的人算输。

跟 Nim 游戏很像，但胜利条件相反，是反 Nim游戏。如果剩余的只有 \(1\) ，那么就是纯粹的轮流拿取，判断奇偶。如果其中只有一个不是 \(1\) ，那么先手可以选择拿完或不拿完控制 \(1\) 的数量。所以只有一个不是 \(1\) 是先手必胜。此时异或和一定不是 \(0\) 。如果有多个不是 \(1\) ，且异或和不为 \(0\) ，那么先手总是面对异或和不为 \(0\) 的局面，后手总是异或和为 \(0\) 。此时先手必胜。否则后手必胜。