【题单】hjh

QOJ17430 Unique Sheet

如果某个数只出现了 1 次，那么一定不能删他所在行列。
否则考虑出现至少 2 次的数的个数，不会超过 \(n^2-(n-k)^2=2nk-k^2\)。
这样能删的行列就很少了。
在 \(n=17\) 时可删的行列到达 \(17\)，总复杂度 \(\binom{17}{5}^2\mathrm{poly}(k)\)。

QOJ17165 Four Sages Around an Oak Tree

考虑相对的人信息是对等的，考虑猜 \(a=b+d,c=b-d\)，如果没都猜中有 \(a=b+d\pm1,c=b-d\pm 1\)，所以可以猜 \(b=\frac{a+c}{2},d=\frac{a-c}{2}\)，这样 \(\pm 1\) 一定有人可以抵消。

CF2164G Pointless Machine

发现可以问 \(p\) 和 \(\mathrm{rev}(p)\)，这样可以通过两次询问确定 \(deg_i\)。
那么一个简单的思路是剥叶子，需要找到叶子的父亲。
考虑二进制分组，设没有 \(2^i\) 的数是序列 \(p_0\)，有 \(2_i\) 的数是序列 \(p_1\)。
可以先问 \(p_0+p_1\)，然后问 \(p_1+p_0\)，这样就可以知道每个节点有几个邻居在 \(2^i\) 和自己不同。
次数 \(2\times 16+1=33\)。
改成三进制分组，\(p_0+p_1+p_2,p_1+p_2+p_0,p_2+p_0+p_1\) 这样问三次，\(3\times 10+1=31\)。

QOJ16339 Logical Resonance

考虑 \(\varphi(t_1)\)：考虑每棵子树得到一个 \(\varphi(T_u)\)。\(u\) 的儿子 \(v_1,v_2,v_3\) 合并的时候，把 \(rt_{v_1},rt_{v_2},\cdots\) 依次连起来，最后连向 \(u\)，这样一定造出来的是合法 \(t_2\)。

然后是证明他是双射，考虑 \(\varphi^{-1}(t_2)\)，那么考虑 \(1\) 到 \(n\) 的链，他们对应了 \(t_1\) 上 \(1\) 的儿子的根，那么递归这些子树，找到最小值连向 \(1\) 即可。

AT_agc010_f [AGC010F] Tree Game

显然若 \(a_v\ge a_u\) 则先手不会向这个方向走，否则后手走回来先手一定完蛋了。
那么只有 \(a_v<a_u\) 的边，dp 即可。

QOJ17260 Art of Multiplication

考虑 \(x=\frac{ab(r^{n+m}-r^{n}-r^{m}-1)}{(r-1)^2}\)，数位和可以定义为 \(x-(r-1)\sum_{i=1} \left\lfloor\frac{x}{r^i}\right\rfloor\)，也就是减去进位次数。
然后 \(\left\lfloor\frac{x}{r^i}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{ab(r^{n+m-i}-r^{n-i}-r^{m-i}+r^{-i})}{(r-1)^2}\right\rfloor\)。
而 \(\left\lfloor\frac{u}{v}\right\rfloor=\frac{u}{v}-\frac{u\bmod v}{v}\)。考虑 \(\bmod (r-1)^2\) 的结果，显然是关于 \(i\bmod \varphi((r-1)^2)\) 的。

所有操作可以在 \(\bmod 9\times 10^{18}+53\) 意义下进行，这是个质数。

AT_agc047_e [AGC047E] Product Simulation

sol

CF1060H Sophisticated Device

同上。

CF643F Bears and Juice

假设一定确定了策略，可以得到的信息是：每只熊有没有睡觉，在第几天睡的。
这样可以区分的信息数量是：\(\sum_{j=0}^{\min(p,n-1)} \binom{n}{j}i^j\)。
考虑令第 \(k\) 种信息表示第 \(k\) 个桶是酒，那么策略是让睡觉的熊在睡觉那天喝第 \(k\) 个桶，否则不喝第 \(k\) 桶。