【A】杂题（待完坑）

CF1710D

• 考虑只有 \([1,n]\) 是联通块的构造：
  • \(n=2\)：连 \((1,2)\)。
  • \(n=3\)，无解。
  • \(n=4\)，\((1,4),(2,4),(1,3)\)。
  • \(n>4\)，\((1,n),(1,n-1),(2,n),(3,n),\cdots,(n-2,n)\)。

考虑增量构造，每次加入一个点 \(i\)。倒序考虑每一个 \(j\)，如果 \([j,i]\) 变成一个连通块，那么把原本这里面的每个极大的连通块按照上面的方法连接起来。
具体类似
时间复杂度 \(O(n^2)\)。

CF1687E

发现等于求，对于每个质因子的次数搞出 最小+次小。
考虑 min-max 容斥，可以使用 \(2^{|S|}-1\) 次操作搓出 \(\gcd S\)。k-min-max 容斥可以在 \(O(2^{|S|}|S|)\) 次操作内搓出 \(\gcd(a_i\times a_j)\)。
考虑减少 \(|S|\)，如果要保持 \(\gcd S\) 不变，那么可以遍历每个数 \(x\)，以一个数 \(a\) 为基准，看 \(x\) 的每个质因子次数最小值即可，最后只会剩下 \(7\) 个元素。
如果要保证 \(\gcd(a_i\times a_j)\) 不变，那做两次就好了，于是最后 \(|S|=14\)。

CF1466H

虽然已经做过了，在此再次复习一下。
连接 \(i\rightarrow a_i\) 的白边，如果 \(i\) 比 \(a_i\) 更喜欢 \(j\)，那么连接 \(i\rightarrow j\) 的黑边。限制转化为不存在包含黑边的环。即缩点后，每个强连通分量是一个简单白色环。
即黑色边形成一个 DAG 结构。
考虑经典的 DAG 容斥，枚举零度点，每个点可以任意向后面连边，如果 \(i\) 的出度为 \(d_i\)，系数为 \(\prod_i d_i!(n-d_i-1)!\)。注意到每个白色环没有本质的区别，把大小相同的压在一起，记录个数，状态数最大为 1440。

CF1844G

可以在 \(O(n)\) 的复杂度内确定每条边的奇偶性，具体对于 \((u,v)\)，其奇偶性为 \(\sum_{i=u}^{v-1} d_i\)。
然后把 \(d_i\) 减去边权 \(\bmod 2\) 后的结果，再除以 2，转换为子问题。复杂度 \(O(n(\log V+\log n))\)。

AGC047E

考虑对于 \(A,B\) 进行 2 进制分解，然后就可以类似卷积算出答案。
这个卷积是 \(c_i=\sum_{j=0}^i a_j\& b_{i-j}\)，其中 \(a_i,b_i\in [0,1]\)。考虑 a&b=![0<!a+!b],!a=[a<1]。
然后对于二进制分解，从高位到低位分解。设当前考虑第 \(i\) 位，然后令 \(s\) 表示当前已经知道的位之和，于是我们得到 \(a_i=[2^i-1+s<A]\)。
我的 \(Q=5008\)。

CF1060H