关于线性基的一些性质 -【UR #22】月球铁轨

定义 \(f(x,T) = max_{y\in T}(x\oplus y)， g(x,T)=max_{y\in T}(x\oplus y)\) 其中 \(x\) 是一个数， \(T\) 是 \(\mathbb{F}_2\) 的一个线性空间。

Conclusion 1 : 对于任意数 \(x,y\) 与线性空间 \(T\)，有 \(f(x\oplus y,T)=f(x,T)\oplus g(y,T)\)

Proof : 考虑求 \(f(x,T)\) 的过程。
从高位往低位考虑 \(T\) 的线性基，若有当前位为 \(0\) 且存在线性基中存在元，则可以异或上当前元，根据线性基的性质能说明这样贪心是对的。

考虑 \(x,y\) 在某一位上的情况，相同时希望线性基中有元则异或，否则不用。 \(x\) 取的 \(max\) ， \(0\) 希望用元， \(y\) 取得 \(min\) ，\(1\) 希望用元。两个都选等同于两个都没选，所以是对的。

Conclusion 2 :对于任意数 \(x,y\) 与线性空间 \(T\)，有 \(g(x\oplus y,T)=f(x,T)\oplus f(y,T)=g(x,T)\oplus g(y,T)\)

Proof : 遇上文相同。