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摘要： 首先第一步gcd的容斥是显然的，变成求 \(x\) 的倍数的所有答案和，最后莫反或是高维差分一下就还原了，这一部分能做到 \(O(nloglogn)\) 。 对于 \(u,v\) 成祖孙关系的对，可以先提前计算，具体的，当 \(u\) 作为更深的点时会对 \(1 - dep(u)\) 贡献，差分一下 阅读全文

摘要： 很经典的排列计数。 考虑对 \(a\) 数组排降序，从大到小去考虑每个 \(a\) 。对于 \(i<j\) ，满足 \(a_i>a_j\) , 当在排列中 \(i\) 排在了 \(j\) 的后面，那对 \(a_i\) 取模就不会有贡献，那么本质上 \(a_i\) 的抉择只会有模不模两种情况。 记 \ 阅读全文

摘要： 直接枚举第 \(i\) 个做空笼的概率，考虑容斥原理，钦定集合 \(S\) 一定在 \(i\) 之后结束，此时其他集合的贡献不用计算。 \[anser_i=\sum_{i\notin S}(-1)^{|S|}f(i,S) \]其中 \(f(i,S)\) 表示集合 \(S\) 都在 \(i\) 之后结 阅读全文

摘要： 首先尝试dp懒癌 \(2^n\) 中情况间的关系，设计状态 \(dp_S\) 表示集合 \(S\) 为懒癌时，第一次有人识破的时间。终止状态时存在一个人，他知道其他人都不是懒癌。 考虑对于某个人 \(i\) ，他会假设自己没有懒癌，当他的假设都不成立时，他就能够识破。具体的，我们称 \(\pi_i\ 阅读全文

摘要： 现在有 \(n\) 个人，其中有若干个人是绿眼睛。初始每个人不知道自己眼镜的颜色，但可以看到其他人眼镜的颜色。当一个人知道自己是绿眼睛后他就会离开。第一天告诉所有人中至少存在一个绿眼睛，每个人会在下一天知道上一天离开的人的集合。要求最早离开的人、最早离开的时间。 考虑维护集合 \(S\) 表示在公共 阅读全文

摘要： 定义 定义 \(\left\langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\rangle\) 为长度为 \(n\) 的排列满足恰有 \(k\) 个位置 \(j\) 满足 \(p_j<p_{j+1}\) 的个数，也就是欧拉数。 对称性 \[\left\ 阅读全文

摘要： 定义 \(f(x,T) = max_{y\in T}(x\oplus y)， g(x,T)=max_{y\in T}(x\oplus y)\) 其中 \(x\) 是一个数， \(T\) 是 \(\mathbb{F}_2\) 的一个线性空间。 Conclusion 1 : 对于任意数 \(x,y\) 阅读全文

摘要： 上升幂与下降幂本质相同且转化简单，所以本文仅考虑上升幂。 上升幂 定义 \(x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)…(x+n-1)=\prod_{i=x}^{x+n-1}i\) 其中 \(n\) 是非负整数。 性质 1.与阶乘组合数的关系 \(n^{\overline{k}}=\f 阅读全文

摘要： 均匀随机排列的前缀最大值的期望个数 考虑用插入增量式构造排列，第 \(i\) 个数随机插入在 \(i\) 个空格中与随机生成排列等价。 第 \(i\) 个数作为前缀最大值的概率是 \(\frac{1}{i}\) ，根据期望的线性性，有： \[E=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \ 阅读全文