数学3

组合

范德蒙德卷积

卷积公式：

\[\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k} \]

证明：

生成函数然后二项式定理秒了。

\[ \sum_{k=0}^{n+m} \binom{n+m}{k}x^k=(x+1)^{n+m}\\ =(x+1)^n(x+1)^m\\ =\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i\sum_{j=0}^n\binom{m}{j}x^j\\ =\sum_{k=0}^{n+m}\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}x^k \]