关于 FWT

FWT

FWT 的思想就是将数列经过变换后，将位运算卷积变为逐位相乘，最终通过逆变换将其得到所求数列。单次 FWT 的时间复杂度为 \(O(2^nn)\) 可以将 \(O(3^n)\) 甚至更高的卷积优化。

或卷积

有 \(C_s=\sum_{s=t|z}A_t\times B_z\) ，\(FWT(F)_s=\sum_{t \subseteq s}F_t\)。

可以发现 \(FWT\) 的变换就是求每个集合的子集和，这个东西是容易用高维前缀和做到 \(O(2^nn)\)。下面将证明它的正确性：

\[FWT(C)_s=FWT(A)_s \times FWT(B)_s \\ \sum_{w\subseteq s}C_s=\sum_{x\subseteq s}A_x \sum_{y\subseteq s}B_y\\ \sum_{w\subseteq s} \sum_{w=x|y} A_x\times B_y=\sum_{x\subseteq s}A_x \sum_{y\subseteq s}B_y \]

发现两边意义相同，证毕。

由于其良好的性质，计算单值时可以做到 \(O(2^n)\) ，简单容斥即可。

与卷积

和或卷积几乎同理。

异或卷积

有 \(C_s=\sum_{s=t\oplus z}A_t\times B_z\) ，\(FWT(F)_s=\sum_{t\circ s=0}F_t-\sum_{t\circ s=1}F_t\)。

(定义\(s\circ t=popcount(s\&t)(mod\ 2)\))

变换本身是容易的，直接依次考虑 \(2^i\) 的贡献即可，证明如下：

\[FWT(C)_s=FWT(A)_s\times FWT(B)_s\\ \sum_{t\circ s=0}C_t-\sum_{t\circ s=1}C_t=(\sum_{x\circ s=0}A_t-\sum_{x\circ s=1}A_t)(\sum_{y\circ s=0}B_t-\sum_{y\circ s=1}B_t)\\ \sum_{t\circ s=0}\sum_{x\oplus y=t}A_xB_y-\sum_{t\circ s=1}\sum_{x\oplus y=t}A_xB_y= (\sum_{x\circ s=0}A_t\sum_{y\circ s=0}B_t+ \sum_{x\circ s=1}A_t\sum_{y\circ s=1}B_t)- (\sum_{x\circ s=0}A_t\sum_{y\circ s=1}B_t+ \sum_{x\circ s=1}A_t\sum_{y\circ s=0}B_t) \]

注意到有 \((x\oplus y)\circ s=(x\circ s)\oplus (y\circ s)\)，所以式子左右两边相等。

子集卷积

子集卷积一般使用或卷积实现，在或卷积的基础上，再加上位数的限制就行了。时间复杂度会多一个 \(n\)。

深入

前面的叙述是肤浅的，不是很能参透FWT的本质。

其实所有变换的本质都是先求值再插值的一个过程，学习了集合幂级数后能够很好的认识到FWT的过程。

将FWT分成DWT和IDWT两个过程，拿异或卷积举例。

\(DWT(a)=\^{a_1},\^{a_2},\dots,\^{a_n}\) ，其中有 \(\^{a_S}=\sum (-1)^{|T\cap S|}a_T\)。

你可以发现，\(\^{a_s}\) 就是 \(a\) 序列的集合幂级数 \(A(x)\) 带入 \(x_i=(-1)^{[i\in s]}\)。

那么DWT是怎么求的？

在前面的学习中，我们知道DWT是分 \(n\) 层推的，其实就是从 \(1\sim n\) 去固定 \(x_i\)。