叁

春之回忆，夏之幻境，秋之现实，冬之彼方。

20251215

Parentheses and Swapping

推一下每个集合出现的概率，发现是若干个数的乘积。

容斥计数，所有方案减去没有出现某个集合的方案。

然后需要计算这个东西：

\[\sum_S \frac{(n!-z(S))^k}{n!^k} \]

分子二项式定理分一下，得到：

\[\sum_{i=0}^k \sum_SC_{k}^{k-i}n!^iz(S)^{i}(-1)^i \]

\(\sum z(S)\) 是 \(1~n-1\) 任意选的累乘，就是\(\Pi (j+1)\) ，\(\sum z(S)^i\) 是 \(\Pi (j^i+1)\) ，本质就是考虑第 \(j\) 个选还是不选。

字符串问题

先莫反。

定义 \(a^(d)\) 表示当 \(s_i=s_{i+d}\) 时，\(a^(d)_{i+d}=1\) 否则为 \(0\) 。

枚举周期长度 \(d\) ，用类似【优秀的拆分】的技巧，得到若干个连续1段，\(r=1\) 特殊考虑，剩下要求每个段的长度大于等于 \(d\) 。

段的个数最多为 \(\frac{n}{d}\) ，对于每一段，直接暴力枚举 \(r\) ，贡献到一个区间上，直接差分，这一部分的时间复杂度也是 \(\frac{n}{d}\)。

SA实现总复杂度 \(O(nlogn)\) ，二分+hash多个log。

Diameter of a Tree

构造。

树的直径过同一个中点。

叶子可以先填，且可确定路径的前一半，

对于后一半的一条路径，每一个点是固定的，且与儿子个数有关，

然后直接dp就可以了，每两个儿子比较是它们到叶子的距离，但每次比较必会删掉一条链，且每个点只会被删一次，复杂度 \(O(n)\)。

Random Shuffle

~Ciallo～(∠・ω<)_

Parentheses and Swapping

还是构造，还有最小化字典序。

排列是平凡的。

有一个贪心，每次尽量往后选。

这个贪心大部分情况是对的，但有一种特殊情况，当一个点的颜色是上一个点选择的颜色时，此时可以决策是否可以十字交换，

然后只用求区间最小即可。

贪心是这样的，只能感性理解。

Basic Counting Practice Problems

我谔谔。

Many Illumination Plans

Challenge NPC II

每条边描述成向量，对 \(u+1\) 对 \(v-1\)，一个图联通的条件是这样生成的行列式不为0。

你说什么？行列式还可以dp？

艹

20251216

A

区间最大权上升子序列的1.5倍近似。

最开始写的分三块扔一块，可以用根号分块做，时间复杂度 \(O(n\sqrt n logn)\)，根本过不了。

然后发现可以分两块再做一些运算，用猫树求，时间复杂度 \(O(nlog^2 n)\) 。

B

群里一群CTF大神。

难度感觉一般，超级难写，得知不能用 \(exit(0)\) ，不是那你为啥要出不输出的交互。

7.5n，感觉没啥意义，就是先横着二分在竖着二分。

C

唯一是题的题。

发现这场比赛的放题顺序直接决定每道题的通过数。

Ad_hoc + 斜优

置零操作将序列分成若干段，发现操作完一定形如若干段为0的段和最后没有减完的一段。

分开考虑。首先对于减为零的段，最大化它们的贡献，发现有个性质，相邻两个只保留一个一定不会更劣，那这就是最大独立集。

接下来其实只用枚举最后一段，把限制写出来，发现有效左端点至多有两个，右端点是可以斜优的形式，直接离线李超树或凸包上二分就做完了。

20251217

上午干了什么？写昨天的构式T2，学习 哈集幂 ，和nkl研究今天是周二还是周三。

目前完成了第一项和第三项，第二项正在施工中。

20251219

交互专题

F

步数明显，达到下节。

随便二分

C

成外做过。

第二种操作只能用来比较1和2与n-1和n。

先比较前4个，然后每两次加一个数。

然后分讨就可以了。

D

先考虑如何验证ans。

如果加入 \(a_i\) 大于ans了，那就不加。

……

然后可以二分，二分要带log，分析二分的可继承性，然后分析一下就可以做大 \(O(n)\) 了。

然后获得了99.89分。

然后剪枝一下就过了。

A

我谔谔。

“你想想交互库在和你对抗，哪些是可行的，哪些是不可行的，哪些是必须要完成的。”

B

分治

歪比巴卜

G

一半人选总数是奇，另一半选总数是偶，这个策略一定没有问题。

现在的问题就是如何确定每个数在哪一半。

H

还没想好说什么

I

搜决策树。

E

还没想好说什么

20251223

随机权值笛卡尔树可以看做完全二叉树。