数学2

OGF

\[A=\sum_{0\le n}a_nx^n \]

关于背包问题的另类解法

01背包

\(g_i\) 表示背包体积为 \(i\) 的方案数，其生成函数为 \(G(x)=\sum_{0\le i} g_ix^i\) 。

对于一个新增的体积为 \(v\) 的物体，有 \(g_i\leftarrow g_{i-v}\) 的转移，其生成函数的刻画也就是 \(G\times (x^v+1)\)。

完全背包

对于一个新增的体积为 \(v\) 的物体，\(g\) 的转移是连续的，也就是应刻画为 \(G \times \sum_{0\le i} x^{iv}\)，注意到这是等比求和，所以就是 \(G\times \frac{1}{1-x^v}\)。

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例题：有体积1和2的物体分别 \(1\le n,m\le 10^6\) 个，求凑出 \(k\le 10^9\) 的方案数。

注意到答案为 \([x^k]\frac{1}{(1-x)^n(1-x^2)^m}\) 。

方法一：

\[\frac{1}{(1-x)^n(1-x^2)^m}=\frac{1}{(1-x)^{n+m}(1-x)^n} \]

通过部分分式分解能得到：

\[\sum_{i=1}^{n+m}\frac{A_i}{(1-x)^i}+\sum_{i=1}^{m}\frac{B_i}{(1+x)^i} \]

然后再拆分算第 \(k\) 项贡献。

方法二：

\[\frac{1}{(1-x)^n(1-x^2)^m}=\frac{(1+x)^n}{(1-x^2)^{n+m}} \]

枚举体积1中选奇数，然后直接做。

EGF

对于一个数列 \(<f_n>\) ，其指数型生成函数\(（EGF）\) \(F_n=\sum_{0\le n}\frac{f_n}{n!}x^n\) 。

注意到其中的 \(\frac{1}{n!}\) 这一项，在计算组合数的时候，往往会用到阶乘，那么可以发现两个多项式的二项式卷积结果的 \(EGF\)，为它们的 \(EGF\) 卷积。

(以下记对应字母的大写为它的 \(EGF\) )

\[c_n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a_ib_{n-i}\\ \frac{c_n}{n!}=\sum_{i=0}^n \frac{a_i}{i!} \frac{b_{n-i}}{(n-i)!}\\ C_n=\sum_{i=0}^n A_iB_{n-i}\\ C=A\times B \]

如此便能解决一些分成两组，且方案数不同的问题，如n个点构成一个环和一颗树的方案数。

EGF的exp与ln

exp我们用它的泰勒展开式：

\[exp(f)=\sum_{0\le n}\frac{1}{n!} f^n \]

首先它和 \(EGF\) 一样有阶乘，这肯定是用于组合数的计算，此外，它还多了一个 \(f^n\) ，\(exp\)干的事情就是在知晓一组方案的生成函数时，可以知道它分成若干组的方案。

ln我们不需要借用它的泰勒展开式与组合意义，只需要用它是exp的反函数即可。

首先，我们尝试构建这个 \(EGF 的exp\) 的状物：

\[令G=exp(F),F=ln(G)\\ G=\sum_{0\le n}\frac{1}{n!} F^n\\ [x^n]G=\sum_{0\le i\le n}\frac{1}{i}[x^n]F^i\\ [x^n]G=\sum_{0\le i\le n}\frac{1}{i}\sum_{k_1+k_2+...+k_i=n}\frac{1}{\Pi_{1\le j\le i} k_j!}\Pi_{1\le j\le i} f_j!\\ g_n=\sum_{0\le i\le n}\frac{1}{i}\sum_{k_1+k_2+...+k_i=n}\frac{n!}{\Pi_{1\le j\le i} k_j!}\Pi_{1\le j\le i} f_j! \]