专题相关技巧

线段树分治

将插入和删除操作转化成插入和末端删除，从而使删除变为撤销。

最小生成树

性质：

1.边权为 \(w\) 的边数在不同生成树中数量一定。

2.边权 \(\le w\) 的边所构成的联通信息在不同生成树中一定。

最短路

\(dij\) 去掉堆优化后时间复杂度为 \(O(n^2+m)\) ，在完全图下可以少带一个 \(log\) 。

博弈

可以先写一个暴力，然后加一些不是很能证明的剪枝或是特性，如果能过对拍，就是对的了（jly说的）。

并查集

离线区间可并信息查询

如区间 \(min\) ，扫描线，并查集上记录每个点到父亲的权值，路径压缩的时候 \(merge\) 一下。

凸性优化

凸性证明往往用归纳法。

哈希表

常见的哈希表可以用链表实现，对于某个 \(id\) ，用链表记录所有哈希值等于当前 \(id\) 的值，修改和查值在链表上线性查询。这个我们常称之为拉链法。

此外，还可以在同一个列表上跳，本质上就是将链表全拉平，代码会好些一些。

struct hash_map{
	ull key[M];
	int val[M];
	int &operator[](const ull n){
		int id=n%M,cnt=1;
		while(key[id]&&key[id]!=n){
			id=(id+cnt*cnt)%M;
			cnt++;
		}
		key[id]=n;
		return val[id];
	}
};

背包

完全背包同余最短路做法

[国家集训队] 墨墨的等式

本质是存在一个 \(a_1\) 可以选任意个，那么对于某个已经可达的 \(B\) ，有 \(B+a_1k\) 均可达。建立最短路模型， \(dis_i\) 表示对于 \(j=i+a_1k\) 中可达的最小 \(j\)。

删除元素

对于不存在最优性（取 \(max,min\) ）的背包，可以用 \(O(V)\) 的复杂度删除一个元素的贡献。注意到背包可以视作多个少项式的卷积，删除一个元素的本质就是删去一个少项式，也就是多项式除法，这显然是可做的。