连续与间断

连续

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一邻域有定义，\(\lim_{\triangle x \rightarrow 0} f(x_0+\triangle x) - f(x_0) = 0\)

左连续

\(\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x) = f(x_0)\)

右连续

\(\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x) = f(x_0)\)

某点连续

若某点连续，则该点满足左右连续。

1. 在 \(x_0\) 处 \(f(x)\) 有定义
2. \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\) 存在
3. \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)\)

区间连续

\((a,b)\)

\((a,b)\) 上 \(f(x)\) 均连续

\([a,b]\)

1. \((a,b)\) 上 \(f(x)\) 均连续
2. 在 \(a\) 处右连续
3. 在 \(b\) 处左连续

间断

不满足连续的点，则为间断点。

第一类间断点

左右极限均存在。

可去间断点

左极限等于右极限。

跳跃间断点

左极限不等于右极限。

第二类间断点

左右极限至少有一个不存在。

无穷间断点

左右极限至少一个是无穷。

振荡间断点

如 \(f(x) = \sin \frac{1}{x}\)