收敛数列的性质

唯一性

若 \(x_n\) 收敛，则极限唯一。

有界性

• 若 \(x_n\) 收敛，则 \(x_n\) 有界。
• 若 \(x_n\) 无界，则 \(x_n\) 一定发散。
• 若 \(x_n\) 有界，则 \(x_n\) 不一定收敛。

保号性

\(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a,a>0,\exists N,n>N,x_n>0\)。

子数列

• \(x_n\) 收敛于 \(a\) ，则任一子数列也收敛，且极限是 \(a\) 。

• \(x_n\) 的某一子数列发散，则 \(x_n\) 发散。

• \(x_n\) 有两个及以上子数列收敛于不同的极限，则 \(x_n\) 发散。

• 一个发散数列可以有收敛的子数列。

• \(\lim_{ n \rightarrow \infty } x_n = a \rightarrow \lim_{ n \rightarrow \infty } x_{2n} = \lim_{ n \rightarrow \infty } x_{2n+1} = a\) 。