数列的极限

\(\epsilon - N\) 极限证明

数列 \({x_n}\) ，\(\forall \epsilon > 0\) ，存在 \(n>N\) 时， \(|x_n - a|<\epsilon\) 恒成立，则称 \(a\) 是数列 \(x_n\) 的极限，记作 \(\lim_{n \rightarrow \infty } = a\) 。

样例

求证：\(\frac{n+(-1)^{n-1}}{n} \rightarrow 1,n \rightarrow \infty\)

证明：\(\forall \epsilon > 0,\exists N = [\frac{1}{\epsilon}]+1\)，使得 \(n>N\) 时，\(|\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}|<\epsilon\)

\(N\) 的求法：\(N = |1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-1| = \frac{1}{n} \rightarrow [\frac{1}{n}] + 1\)