行列式的性质

转置

\[D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix} \]

上述行列式的转置行列式 \(D^T\) ，写作

\[D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{nm} \end{vmatrix} \]

实际上，这个操作相当于把行列式的行列互换。

性质

1. \({(D^T)}^T = D\)
2. 行列式转置前后求值不变。
3. 任意交换行列式中 \(2\) 行或 \(2\) 列，行列式求值变为原行列式的相反数。
4. 基于 \(3\) 的推论，如果行列式中有某 \(2\) 行或 \(2\) 列完全一致，行列式求值为 \(0\) 。
5. 若行列式某 \(1\) 行或某 \(1\) 列有公因子，该因子可以提到行列式记号外。
6. 基于 \(4、5\) 结合的推论，如果行列式中有某 \(2\) 行或 \(2\) 列完全成比例，行列式求值为 \(0\) 。

7. \[ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+k & a_{22}+2k & a_{23}+3k \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ k & 2k & 3k \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \]

8. 将行列式某 \(1\) 行或某 \(1\) 列的 \(k\) 倍加到其他的行或列上，行列式的值不变。

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