n阶行列式

定义

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

上述式子称为 \(n\) 阶行列式，简记为 \(|a_{i,j}|_{n\times n}\) 。

计算方法

通用算法

按行展开

1. 行标取标准排列，列标取 \(n\) 级排列的所有可能。
2. 符号由列标排列的逆序数决定，\((-1)^{N(j_1j_2j_3...j_n)}\) 。

按列展开

1. 列标取标准排列，行标取 \(n\) 级排列的所有可能。
2. 符号由行标排列的逆序数决定，\((-1)^{N(i_1i_2i_3...i_n)}\) 。

随机展开

1. 行标取标准排列，列标也取标准排列，保证行标和列标不相同。
2. 符号由列标和行标的逆序数之和决定，\((-1)^{N(i_1i_2i_3...i_n)+N(j_1j_2j_3...j_n)}\) 。

特殊算法

含有多个 \(0\) 的行列式

\[\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 5 & 6 & 4 & 8 \end{vmatrix} \]

上述行列式，通过按行展开有以下计算步骤：

1. 第 \(1\) 行，由于其他列都为 \(0\) ，取第 \(2\) 列，\(1\) 。
2. 第 \(2\) 行，由于其他列都为 \(0\) ，取第 \(1\) 列，\(2\) 。
3. 第 \(3\) 行，由于其他列都为 \(0\) ，取第 \(3\) 列，\(3\) 。
4. 第 \(4\) 行，由于第 \(2、1、3\) 列已经被取，只能取第 \(4\) 列，\(8\) 。
5. 由于 \(N(2134) = 1\) ， \((-1)^{N(2134)}=-1\) 。
6. 综上，该行列式求值为：\((-1)^{N(2134)}(1\times 2\times 3\times 8) = -48\) 。

特殊构型的行列式

以主对角线展开

上三角、下三角、对角线型由于和二三阶行列式中的样例形状等同，省略形状的展示，它们的结果都是 \(a_{11}a_{22}a_{33}...a_{nn}\) 。

以副对角线展开

还有一种以副对角线展开的类似形状的行列式，它们的结果都是 \((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}(a_{1n}a_{2(n-1)}a_{3(n-2)}...a_{n1})\) 。

存在某一行或者列全部为 \(0\)

这种行列式的计算结果直接为 \(0\) 。