排列

\(n\)级排列

由 \(1,2,3,4,...,n\) 组成的 \(1\) 个有序数组叫做 \(1\) 个 \(n\) 级排列。

\(n\) 级排列一共有 \(n!\) 个。

标准\自然排列

从 \(1\) 开始，每次递增 \(1\) ，组成的有序数组叫做自然排列。

逆序

对于排列 \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\) ，对于任意 \(1 \leq i < j \leq n\)，若 \(a_i > a_j\) ，\(a_i,a_j\) 构成逆序。

排列 \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\) 中逆序的个数称为该排列的逆序数，记作 \(N(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\)。

奇偶排列

奇排列

定义

逆序数为奇数的排列。

偶排列

定义

逆序数为偶数的排列。

定理

1. 一个排列经过一次对换，奇偶性改变（扩展：经过奇数次对换奇偶性改变，经过偶数次对换不变）。
2. \(n\) 级排列共有 \(n!\) 个，其中奇偶排列分别有 \(\frac{n!}{2}\) 个（\(n \geq 2\)）。