二三阶行列式

二阶行列式

定义

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]

cramer法则

我们先通过一个二元线性方程组引入

\[\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]

正常求解这样的方程是很麻烦的，但我们可以通过行列式将其解轻松的表示出来：

\[\begin{cases} x = \frac {\begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}} \\ \\ y = \frac {\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}} \end{cases} \]

这种对于分子单列替换求解的方法就应用了该法则。

三阶行列式

定义

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \]

特殊情况

上三角行列式

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} \]

下三角行列式

\[\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} \]

对角线行列式

\[\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} \]