函数

特性

有界性

上界

存在 \(k\) ，使得任取 \(x\) ，\(f(x) \leq k\) ，则函数有上界。

下界

存在 \(k\) ，使得任取 \(x\) ，\(f(x) \geq k\) ，则函数有上界。

有界

存在 \(k\) ，使得任取 \(x\) ，\(|f(x)| \leq k\) ，则函数有界。

单调性

和高中一样，省略。

奇偶性

和高中一样，省略。

周期性

和高中大致一样，要注意不是所有函数都有最小正周期。

例如 Dirichlet 函数

\[D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q}, \\ 0, & x \in \mathbb{Q}^c. \end{cases} \]

基本函数

高中已经有的就不写了，只写高中没有的。

三角函数

正割

\[\sec x = \frac{1}{\cos x} \]

余割

\[\csc x = \frac{1}{\sin x} \]

余切

\[\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x} \]

反三角函数

实际上就是对于原有的三角函数图像做了关于 \(y = x\) 的对称变换，只需要注意在原函数名前加上 \(arc\) 即可，比如 \(\arcsin x\) 、\(\arccos x\) ，互换定义域和值域。