ST表

定义

ST 表（Sparse Table，稀疏表）是用于解决 可重复贡献问题 的数据结构。——OI Wiki

可重复贡献问题是什么我也不知道

作用

求静态区间最大（小）值，即一个区间不会修改。

能够实现 \(\mathcal O(n\log_2 n)\) 预处理，\(O(1)\) 查询。

实现

倍增思想

设 \(\large f_{x,i}\) 表示区间 \([x,x+2^i-1]\) 的最大值。（最小值同理，下文不再赘述）

那么显然有：

\[\large f_{x,0}=a_x \]

不难发现，\([l,l+2^p]\) 的区间最大值是区间 \([l,l+2^{p-1}]\) 和区间 \([l+2^{p-1}+1,l+2^p]\) 的最大值。那么 \(\large f_{x,i}\) 的转移方程就有（\(i>0\)）：

\[\large f_{x,i}=\max(f_{x,i-1},f_{x+2^{i-1},i-1}) \]

其实和倍增LCA的转移方程很像虽然倍增算法基本都长这样，一同理解倍增可能会好一些。

预处理

设数组 \(f[x][i]\)，定义同 \(f_{x,i}\)。

那么预处理部分的代码就很简单了：

void st_pre(){
	for(int i=0;i<=n;i++)lg[i]=lg[i/2]+1;//常数优化
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=a[i];
	for(int i=1;i<=lg[n];i++){//循环顺序不能改！！
		for(int x=1;x+(1<<i)-1<=n;x++){
			f[x][i]=max(f[x][i-1],f[x+(1<<i-1)][i-1]);//状态转移方程
		}
	}
}

其中，\(lg[i]\) 表示 \(\log_2i+1\)。

时间复杂度：\(\mathcal O(n\log_2 n)\)。

查询

ST表可以实现 \(\mathcal O(1)\) 查询，实现如下：

询问区间 \([l,r]\) 时，我们只需要返回区间 \(\large[l,s]\) 和区间 \(\large[r-2^s+1,r]\) 的最大值即可，其中 \(s=\lfloor \log_2(r-l+1)\rfloor\)（区间长度的对数）。

其实这样分成的两个区间会有重复部分（一定覆盖了 \([l,r]\)），但是并不影响我们求区间最大值。

查询代码也很简单：

int l,r;
scanf("%d %d",&l,&r);
int s=log2(r-l+1);
printf("%d\n",max(f[l][s],f[r-(1<<s)+1][s]));

例题

洛谷P3865

【模板】ST 表 && RMQ 问题

ST表模板题，虽然时限 \(800\text{ms}\)，但不加快读也能过。参考代码：

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=1e5;
int n,m,a[N+1],lg[N+1],f[N+1][(int)log2(N)+1]; 
void st_pre(){
	for(int i=0;i<=n;i++)lg[i]=lg[i/2]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=a[i];
	for(int i=1;i<=lg[n];i++){
		for(int x=1;x+(1<<i)-1<=n;x++){
			f[x][i]=max(f[x][i-1],f[x+(1<<i-1)][i-1]);
		}
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
	st_pre();
	while(m--){
		int l,r;
		scanf("%d %d",&l,&r);
		int s=log2(r-l+1);
		printf("%d\n",max(f[l][s],f[r-(1<<s)+1][s]));
	}
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}