对称矩阵及正定矩阵

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凸优化：一个对称方阵是否正定[Copy from:https://zhuanlan.zhihu.com/p/32926848]

答：在凸优化中要用到，再细点就是在泰勒展开式的基础上判断一个函数是不是凸函数。矩阵

的正定就相当于实数是否大于0，但问题是矩阵不是实数啊，放心世界上聪敏人多的是，聪敏

人就想办法变成实数，即  ，称二次型（结果是个实数，这就好与0比较了），当二次型对

世界上所有的每一个  有>0，则H正定，但是世界上的有无穷多，不可能一一试下去，所

以就另辟捷径算H的特征值，当H中的最小特征值都大于0，则H为正定。H的正定乍一看没多大

用处，但是对判断一个自变量很多的函数是否为凸函数特别灵，H大于0则该函数为凸函数，这

时候H就是hessian矩阵。

 

理解二：

考虑矩阵的特征值。

若所有特征值均不小于零，则称为半正定。

若所有特征值均大于零，则称为正定。

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三：特征值为0是什么情况？

特征值为0：A会压缩某个方向上的所有向量 到 0向量

特征值不为0：A会缩放某个方向上的所有向量特征值倍