学习NOTE番外 1——浅谈逆元
想必 OIer 们一定对逆元很熟悉，但是总会有像本蒟蒻一样的 dalao 不太清楚，所以我来写写我的认知与感受。
我还是太菜了。
逆元是什么
定义有点难说，相当于是：逆元就是某个运算下的“撤销键”。在模运算里，逆元就是让 \(a\times x\) 变回 \(1\) 的那个 。
比如说一个数的倒数，也就是 \(a\times \frac{1}{a} (a\in \mathbb{R})\)之类的。
我们教练是这么说的：
若 \(a,b\) 互质，且满足线性同余方程：
则称 \(x\) 为 \(a\) 模 \(b\) 的乘法逆元，记作 \(a^{-1}\)。
也就是说，在模 \(b\) 的意义下，\(a\) 乘以 \(x\) 的结果和 1 同余，那么 \(x\) 就是 \(a\) 的逆元。
综上，讲义里的“逆元”就是模意义下的乘法逆元，核心公式是：
前提是 \(\gcd(a,b)=1\)。
那为什么要互质呢？
因为方程
等价于存在整数 \(y\)，使得
为什么是这个式子
我问了一下某只大鲸鱼。
大鲸鱼：
这是一个非常关键的问题，核心在于同余式和不定方程之间的等价转化。
我们从定义出发，一步一步来看。
1. 同余式的定义
同余式
的意思是：\(ax\) 和 \(1\) 除以 \(b\) 的余数相同。
用整除的语言来说，就是：
也就是说，\(ax - 1\) 是 \(b\) 的整数倍。
2. 把“整除”写成等式
既然 \(b \mid (ax - 1)\)，那么一定存在某个整数，使得
这里 \(k\) 是某个整数。
我们把这个等式整理一下：
注意，\(k\) 只是一个整数，可以正也可以负。为了看起来更习惯，我们令
那么 \(y\) 也是整数，于是：
这就是：
等价于存在整数 \(y\)，使得 \(ax + by = 1\)。
3. 反过来也成立
如果存在整数 \(x, y\) 使得
那么移项：
右边是 \(b\) 的整数倍，所以
根据同余的定义，这正是：
所以两边是完全等价的。
4. 为什么这个转化很重要？
因为同余方程
不太好直接解，但转化成不定方程
之后，就可以用扩展欧几里得算法来求整数解了。
而扩展欧几里得算法恰好就是用来求
的整数解的。当 \(\gcd(a,b)=1\) 时，右边就是 \(1\)，正好就是我们要的形式。
所以整个逻辑链是：
这也解释了为什么只有 \(a\) 和 \(b\) 互质时，\(a\) 模 \(b\) 才有乘法逆元。
总结
| 形式 | 含义 |
|---|---|
| \(ax \equiv 1 \pmod{b}\) | \(ax\) 和 \(1\) 模 \(b\) 同余 |
| \(b \mid (ax-1)\) | \(ax-1\) 是 \(b\) 的倍数 |
| \(ax - 1 = bk\) | 存在整数 \(k\) |
| \(ax + by = 1\) | 令 \(y=-k\)，得到不定方程 |
所以，同余方程和不定方程本质上是同一件事的两种写法。
当时我也没搞懂。
所以只有 \(a\) 和 \(b\) 互质 时，\(a\) 在模 \(b\) 下才有乘法逆元。不然你以为是啥。
逆元怎么求
目前有三种办法 （我学了的，我只学了这三种）。
法一：扩欧（扩展欧几里得算法）
先把
转化为不定方程：
然后用扩展欧几里得算法求出一组解 \((x_0, y_0)\)。
最后取
就是最小正整数逆元。
PID：P2613【模板】有理数取余
方法2：费马小定理求逆元
要求模数 \(b\) 是质数。
费马小定理说：
所以
因此
也就是说，当模数 \(p\) 是质数时，直接用快速幂算 \(a^{p-2} \bmod p\) 即可。
PID：P5431【模板】乘法逆元2
方法3：线性求逆元
问题：求 \([1,n]\) 中每个数模质数 \(p\) 的逆元，且 \(p>n\)。
令
其中
可以推出：
代码里为了防止负数，写成：
给一下对应代码：
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
PID：P3811【模板】乘法逆元、P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑
举个例子
解得 \(x = 2, 7, 12, \dots\)
因为
所以 \(8\) 模 \(5\) 的逆元是 \(2\)。
逆元可以用来干什么
一、组合数取模（最高频）
厚着脸皮 安利一下我的组合数博客
核心公式
预处理阶乘与阶乘逆元
fact[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
fact[i]=fact[i-1]*i%p;
inv[n]=fastpow(fact[n],p-2,p);//费马小定理
for(int i=n-1;i>=0;i---)
inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p;
查询
int C(int n, int m){
if(m<0|| m > n) return 0;
return (long long)fact[n] * inv_fact[m] % p * inv_fact[n-m] % p;
}
//此处我的代码里加了 #define int long long
适用条件
- \(p\) 是质数
- \(p > n\)（否则用 Lucas 定理）
二、解同余方程
形式
若 \(\gcd(a,p)=1\)，则：
求单个逆元
// 扩展欧几里得
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1;
y=0;
return a;
}
int g=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return g;
}
int inv(int a,int p){
int x,y;
exgcd(a,p,x,y);
return(x%p+p)%p;
}
// 费马小定理（p 为质数）
int inv(int a,int p){
return fastpow(a,p-2,p);
}
三、BSGS 与扩展 BSGS
BSGS
求 \(a^x \equiv b \pmod{p}\)，其中 \(\gcd(a,p)=1\)。
令 \(x = im - j\)，其中 \(m = \lceil \sqrt{p} \rceil\)，则：
先枚举 \(j\)，把 \((b a^j, j)\) 存入 map；再枚举 \(i\)，查 \(a^{im}\) 是否在 map 中。
int BSGS(int a,int b,int p){
a%=p;b%=p;
if(b==1) return 0;
int m=ceil(sqrt(p));
int t=b;
unordered_map<int,int> mp;
for(int j=0;j<m;j++){
mp[t]=j;
t=t*a%p;
}
int mn=f(a,m,p);
t=1;
for(int i=1;i<=m;i++){
t=t*mn%p;
if(mp.count(t)) return i*m-mp[t];
}
return -1;
}
扩展 BSGS
当 \(\gcd(a,p) \ne 1\) 时，不断除以 \(\gcd\)，直到互质，再 BSGS。
四、线性求逆元（批量）
问题
求 \(1\) 到 \(n\) 所有数模质数 \(p\) 的逆元，且 \(p > n\)。
递推公式
代码
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
推导要点
由 \(p = k i + r\)，得 \(k i \equiv -r \pmod{p}\)，两边乘 \(i^{-1} r^{-1}\)：
因为 \(r < i\)，\(r^{-1}\) 已算过，形成递推。
优先级排序
这是我认为的优先级：
| 排名 | 用途 | 出现频率 |
|---|---|---|
| 1 | 组合数取模 | 极高 |
| 2 | 解同余方程 | 高 |
| 3 | BSGS 与扩展 BSGS | 中 |
| 4 | 线性求逆元 | 中 |
一句话总结
From 大鲸鱼
这四个用途的共同核心都是：把模运算中的除法变成乘法。
- 组合数：除以阶乘 → 乘阶乘逆元
- 同余方程：除以 \(a\) → 乘 \(a^{-1}\)
- BSGS：扩展 BSGS 中不断除以 \(\gcd\)
- 线性求逆元：批量递推求 \(1\) 到 \(n\) 的逆元
浙公网安备 33010602011771号