学习NOTE 9——斜率优化dp
dp好难。。。（还好吧）
是什么
斜率优化dp，重点是 “斜率”，想想什么东西会有斜率，函数吧，一般都是一次函数 （谁会出二次函数这种恶心东西）。
那么这时候的dp转移方程就可以优化作（看作）一次函数，然后通过推出来的公式来求\(x,y,k\)（\(b\)是常数，不过也有要求b的情况），得出当前的结果。
所以我们可以得出，斜率优化是用来优化dp的转移方程的。
怎么实现
此乃重点！
因为教练说了，代码很好写，只是理解有点难 （只是“只是，有点”吗）。
这次我们从题入手，先放一下PID：\(\color{Cyan}HDU3507\)。
（你发现它可以点击了吗）
额，是英文啊（擦汗），翻译。
首先，知道这是dp没问题吧。
因为题目要求把数分成很多段，然后求 \((\sum C_i)^2+M\)的最小值，想来想去也只有dp最合适（？）。
那就先设计状态、推转移方程吧。
基础的状态：令 \(dp_i\) 为：到第 \(i\) 个时（分了很多段，以 \(i\) 为当前段的终点），前 \(i\) 个的总费用的最小值。
那么转移方程就是这个 ↓：
解释一下，\(dp_j\) 上一段的最优解，然后 \((\sum_{i=j+1}^{i} C_i)^2+M\) 就是题目中的公式（当前这一段的）。
那么，开写！然后，T飞了（TLE），低头一看：\(0\le N\le 5\times 10^5\)，这不炸鼠也得炸个半鼠 （呵呵）。这时间复杂度太超标了。
其次，优化（主要内容）：
这坨求和 \((\sum_{i=j+1}^{i} C_i)^2\) 可以用前缀和优化，就成了 \(p_i-p_j\)，\(O(1)\) 搞定。然后好像没什么可以优化的了。额。
那就拆开它：
然后你会发现，好像没什么能继续的了，啊呸，是 \(\min\) 可以用单调队列优化掉，然后就成了（\(j\) 是当前最优的起点）：
然后就到了现在的重中之重，到了斜率优化的部分了！
我们可以把转移方程看成一次函数：
把与 \(j\) 相关的当成变量\(x,y\)，将与 \(i\) 相关的当成常量 \(b\) 或者比例系数（斜率）\(k\)。不过，为什么？因为这时的 \(i\) 是固定的、已知的，而 \(j\) 是不固定的、未知的。
那就可以变成这样：
拆分一下，看看都是干什么的：
（工具：Excalidraw Whiteboard）
其实可以这样看，把它换一下：
这样才是我们要的，但是因为我们要求 \(dp_i\)，所以先拿出来。
注意观察，\(b\) 才是主要影响 \(dp_i\) 的值的。但因为 \(dp_i\) 未知，所以 \(b\) 也是未知的，那么 \(b\) 越小，\(dp_i\)就越小。
那该怎么算呢？先把方程变一下：
然后再看，这时我们只需要保证 \(k\) 最大就行了，因为一个点的 \((x,y)\) 是固定的。
接下来，引进一个新的东西：凸壳
什么是凸壳
这是下凸。
我们以下凸为例，两个函数：\(y_1=kx_1+b_1\) 和 \(y_2=kx_2+b_2\)（图在上面的框里面，结合图片食用更佳）。
这时 \(y_1-kx_1\ge y_2-kx_2\)，那么 \(b_1\ge b_2\)，这时 \((x_2,y_2)\) 和 \((x_3,y_3)\) 的更优。
那么现在，单调队列派上用场了，用它来记录所选的这一段中，最优的点的下表 \(i\)。
根据上面的式子，我们的第一个判断条件出来了（上面单调队列的）：若当前点与队尾的点所连成的直线比队尾的两个连成的更优（斜率更大），则 pop_back，
还有，既然是单调队列，还有队首的维护，这也很容易知道：若队首的斜率比当前的点的更大，则 pop_front。
比如说像这样：
这时的 \(k_3\) 是最优的。
最后，回到这道题，公式已经被“肢解”的差不多了，我们来看一下：
- 首先，\((\sum_{i=j+1}^{i} C_i)^2\) 用前缀和优化掉；
- 其次，\(\min\) 的 \(j\) 用单调队列优化掉；
- 最后，根据公式和用数学中的方法计算出结果。
那这时间已经没有多少了，（我不会算时间复杂度），接下来就是代码的事了。
代码
- 首先，前缀和优化：
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>p[i],p[i]+=p[i-1];
dp[i]=0;//多测不清空，__________
}
- 求 dp的同时求单调队列：
int h=1,t=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(t-h+1>=2&&slope(i-1,q[t])<=slope(q[t],q[t-1])) t--;//对尾的的斜率比当前的更小，b更大
q[++t]=i-1;
while(t-h+1>=2&&slope(q[h+1],q[h])<=_k(i)) h++;//队首的斜率更小，b更大
int j=q[h];
dp[i]=_y(j)-_k(i)*_x(j)+p[i]*p[i]+m;
}
- 数学 + 公式的 \(x,y,k\)：
int _x(int a){return p[a];}
int _y(int a){return dp[a]+p[a]*p[a];}
int _k(int a){return 2*p[a];}
//这三个以公式为准
double slope(int a,int b){
int x=_x(a),x2=_x(b),y=_y(a),y2=_y(b);
if(x==x2) return (y-y2)*1.0/1e-9;
return (y-y2)*1.0/(x-x2);
}
ok啦，下面是全代码：
$\color{Cyan}Code$
$\color{Red}注意是多测！！$#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int n,m,p[N],dp[N],q[N];
//q记录凸点
int _x(int a){return p[a];}
int _y(int a){return dp[a]+p[a]*p[a];}
int _k(int a){return 2*p[a];}
double slope(int a,int b){
int x=_x(a),x2=_x(b),y=_y(a),y2=_y(b);
if(x==x2) return (y-y2)*1.0/1e-9;
return (y-y2)*1.0/(x-x2);
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
while(cin>>n>>m){
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>p[i],p[i]+=p[i-1];
dp[i]=0;
}
int h=1,t=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(t-h+1>=2&&slope(i-1,q[t])<=slope(q[t],q[t-1])) t--;//对尾的的斜率比当前的更小
q[++t]=i-1;
while(t-h+1>=2&&slope(q[h+1],q[h])<=_k(i)) h++;//队首的斜率更小，b更大
int j=q[h];
dp[i]=_y(j)-_k(i)*_x(j)+p[i]*p[i]+m;
}
cout<<dp[n]<<"\n";
}
return 0;
}
TIPS
在单调队列维护凸壳的时候，注意看题目是上凸还是下凸，来修改两个 \(slope\) 的判断，是 \(\le\) 还是 \(\ge\) (你猜我是怎么知道的)。
比如说：
现在是下凸，那就是 \(\le\)，因为是要判断最小值，那就是这样：
slope(i-1,q[t])<=slope(q[t],q[t-1])
slope(q[h+1],q[h])<=_k(i)
如果是上凸，那就是 \(\ge\):
slope(i-1,q[t])>=slope(q[t],q[t-1])
slope(q[h+1],q[h])>=_k(i)
完结撒花~~
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