学习NOTE 6——KMP

KMP Loading. . . . . .

是什么

KMP 算法是一种改进了的字符串匹配算法，用来快速找出一个短字符串（模式串）在另一个长字符串（文本串）中出现的所有位置。这个算法是由$ \textbf{D.E.Knuth，J.H.Morris 和 V.R.Pratt} $这三个大神犇发明的。

为什么叫“改进了的”？ 因为KMP可以用\(O(n + m)\)的时间复杂度完成匹配，远胜于暴力查找的\(O(n \times m)\)。牛逼！！（其中\(n\)和\(m\)指文本串长度和模式串长度，下同）

字符串匹配

我们之前学过的暴力是这样的：

for(int i=0;i+t.size()-1<s.size();i++){
	bool flg=1;
	for(int j=0;j<t.size();j++){
		if(s[i+j-1]!=t[j]){
			flg=0;
			break;
		}
	}
	if(flg) cout<<i<<" "<<i+t.size()-1<<"\n";
}

时间复杂度为\(O(n \times m)\)（最坏情况）。

举个栗子：

假设：

• 文本串 s = "AAAAAB"
• 模式串 t = "AAAAB"

暴力匹配的做法：

1. 从s的第1位开始比较：

• \(A=A ✓，A=A ✓，A=A ✓，A=A ✓，\color{Red}B \ne A ✗\)（第5位失败）
• 然后回到s的第2位，重新从t的第1位开始比较...

2. 这样一直试到第2位才成功。

问题：每次匹配失败，文本串指针都要回退，导致很多字符被重复比较。最坏情况下时间复杂度是 \(O(n \times m)\)（n是文本长度，m是模式长度），当n和m都很大时（比如\(10^6\)），会超时。

KMP代码实现

匹配过程中已经比较过的文本字符，不要浪费！ 即使某次匹配失败了，我们也知道"已经匹配了多长"和"这些匹配上的字符是什么"，可以利用这个信息让模式串跳着走，而不是从头开始。

这时，我们需要记录一个\(p\)数组，用来表示子串 \(t_{0..i}\) 中，最长的相等前缀和后缀的长度（且长度小于 \(i+1\)）。

也就是说：当匹配到模式串的 \(t_i\) 时失败了，说明前面的 \(t_{0..i-1}\) 都匹配成功了。那我们可以把模式串往后移动一段距离，移动多少呢？移动 \(i - p_{i-1}\) 位，也就是让模式串的 \(p_{i-1}\) 位置对准当前文本位置继续比较。

栗子

• 文本串 s = "ABABABC"
• 模式串 t = "ABABC"

第一步：先算模式串的前缀函数

t = "ABABC"

• p[0]=0（单字符）
• p[1]=0（"AB"，前缀"A"≠后缀"B"）
• p[2]=1（"ABA"，前缀"A"=后缀"A"）
• p[3]=2（"ABAB"，前缀"AB"=后缀"AB"）
• p[4]=0（"ABABC"，没有相等的前后缀）

所以 p = [0, 0, 1, 2, 0]

第二步：匹配（重点！）

s: A B A B A B C
t: A B A B C

1. i=0, j=0：\(A=A\) ✓，i=1, j=1
2. i=1, j=1：\(B=B\) ✓，i=2, j=2
3. i=2, j=2：\(A=A\) ✓，i=3, j=3
4. i=3, j=3：\(B=B\) ✓，i=4, j=4
5. i=4, j=4：$A \ne C $✗（失配！）

暴力做法：回退到s的第2位（B），t从头（A）开始。

KMP做法：

• 当前j=4（匹配了4个字符，"ABAB"）
• 查表：p[3] = 2（因为失配在t[4]，我们看t[0..3]的最长相等前缀和后缀长度）
• 让 j = p[3] = 2，i不变（i=4）
• 现在比较 s[4]='A' 与 t[2]='A' ✓

6. i=4, j=2：\(A=A\) ✓，i=5, j=3
7. i=5, j=3：\(B=B\) ✓，i=6, j=4
8. i=6, j=4：\(C=C\) ✓，匹配成功！位置 = 6-5+1 = 2（从1开始计数）

See？ 文本串指针i从来没有回退，只是模式串的指针\(j\)跳到了\(2\)，省去了重复比较"AB"的时间。

代码

PID：P3375

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int p[N];//存储前缀函数
string s,t;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>s>>t;
	int n=s.size(),m=t.size();
	for(int i=1,j=0;i<m;i++){//前缀函数
		while(j>0&&t[i]!=t[j]) j=p[j-1];//失配时回退j
		if(t[i]==t[j]) j++;//匹配则前进
		p[i]=j;
	}
	for(int i=0,j=0;i<n;){//j:字符串t的下标 i:字符串s的下标
		if(s[i]==t[j]) i++,j++;
		else if(j>0) j=p[j-1];//如果字符串不匹配重新计算
		else i++;//继续往后延伸字符串s
		if(j==m){//如果成功匹配字符串
			j=p[j-1];//回退模式串指针，目的是为了寻找下一个
			cout<<i-m+1<<"\n";//输出匹配起始位置
		}
	}
	for(int i=0;i<m;i++) cout<<p[i]<<" ";
	return 0;
}