线性dp

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是什么

线性dp是一维的。

状态是一维的，或者能压成一维的，递推方向只有一个——从左往右，或者从前往后，不回头。

算 \(dp_i\) 的时候，只用得着 \(i\) 之前的信息，不会突然跳到后面去。这是它跟区间 DP、树形 DP 最根本的区别。

常见的那些题：LIS、LCS、最大子段和、编辑距离、数字三角形、斐波那契、爬楼梯、错排、卡特兰数，全归这一类。

注：
1.LIS：最长上升子序列 (Longest Increasing Subsequence)。在一个序列里找出一个子序列（不要求连续），使得它严格递增，且长度尽可能长。

2.最长公共子序列 (LCS：Longest Common Subsequence)。给定两个序列，找出一个同时出现在两个序列中的子序列（不要求连续），且长度尽可能长。

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怎么实现

先开数组。一维就 \(dp_n\)，双序列就 \(dp_{n,m}\)。

再写转移。线性 DP 的转移来源不外乎这几种：

• 从 \(dp_{i-1}\) 或 \(dp_{i-2}\) 过来（相邻位置）
• 从 \(dp_{i-k}\) 过来（前 k 个）
• 从前面任意一个 \(dp_j\) 过来，\(j < i\)，但要加条件筛选（比如 LIS 要 \(a_j < a_i\)）
• 双序列的话，就是 \(dp_{{i-1},j}\)、\(dp_{i,{j-1 }}\)、\(dp_{{i-1}{j-1}}\) 这三者之一或组合

然后是初始化。把最小子问题先填好（初始化），比如 \(dp_0\)、\(dp_1\) 该是什么就是什么。求方案数用 0 或 1，具体看题目怎么定义“空状态”。

最后定循环顺序。一维就正着来，双序列就两层循环都正着来。原则只有一个：算到 \(dp_i\) 的时候，它依赖的所有状态必须已经有值了。

骨架大概长这样：

初始化 dp[边界]
for(int i=1;i<=n;i++):
    dp[i] = 由前置状态推出来
输出 dp[n] 或者 max(dp)

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TIPS

TIP 1

\(dp_i\) 到底表示“前 \(i\) 个”还是“以 \(i\) 结尾”？这两个都能做题，但写法不一样。“以 \(i\) 结尾”的好处是转移方便，坏处是最后答案要扫一遍取 \(max\)；“前 \(i\) 个”的好处是答案直接拿 \(dp[n]\)，坏处是转移的时候得多想一步“第 \(i\) 个选不选”。

双序列的边界，比如 LCS，\(dp_{i,0}\) 和 \(dp_{0,j}\) 全是 0，因为空序列跟谁匹配都是 0。循环从 1 开始，就不用单独处理边界了。

答案在哪看你状态怎么定义的：

• 前 \(i\) 个 \(\rightarrow\) \(dp_n\)
• 以 \(i\) 结尾 \(\rightarrow\) \(max(dp_{1..n})\)
• 从 \(i\) 开始 \(\rightarrow\) \(dp_1\)

TIP 2

如果题目性质允许贪心，就别硬上 DP。贪心 \(O(n)\) 跑完的事，DP \(O(n²)\) 纯属浪费时间。DP 是万能解法，但不一定是最优解（别问我怎么知道的）。

空间上，如果转移只依赖前一行，就压到一维，别开二维 （也别问） 。01 背包那种倒序枚举就是典型。

注意子串和子序列的区别：子串是连续的，转移通常只看 \(i-1\)；子序列可以不连续，转移可能要从前面任意 \(j\) 跳过来，复杂度容易变成 \(O(n²)\)。

数据范围会告诉你该用什么复杂度 （实践出真知） ：

• \(n \le 10^4\)，\(O(n²)\) 还能扛。
• \(n \le 10^5\)，\(O(n²)\) 必炸，要想 \(O(n log n)\) 的写法（比如 LIS 的贪心+二分）。
• 双序列长度 \(\le 5000\)，\(O(nm)\) 能过。
• \(n \le 10^6\)，只能 \(O(n)\)，比如最大子段和。

注：部分内容来源于某只鲸鱼