学习NOTE 3——动态规划

题外话

之前学了DP ，感觉学了跟学了一样。。。重学一遍，赶紧来写一篇学习NOTE。

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下面进入正题。

是什么？

动态规划(Dynamic Programming‌)，也就是DP。

DP是一种把复杂问题拆分成重叠子问题、通过填表避免重复计算的算法思想，常用于求最短路、背包问题、编辑距离等。

“公式”：DP=动态规划=拆小问题+记答案+拼大问题

有一些定义：

1.状态（State）

本质：用一组参数完整描述当前子问题。在代码中就是数组的维度和下标。

核心要求：状态必须满足无后效性——给定当前状态后，后续结果只取决于当前状态本身，与怎么到达它的历史路径无关。

设计核心：只提取“影响未来决策”的关键信息，其余全部丢掉。信息不够就加维度，信息冗余就压缩。

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状态转移方程（Transition）

本质：从已知状态推导当前状态的递推规则。

推导核心：倒推“最后一步”——想象当前状态已达成，上一步只能来自哪些状态？枚举所有来源，对前置状态值做 max / min / 求和，再叠加当前步的增量。

核心约束：计算当前状态时，所有依赖的前置状态必须已经算完（遍历顺序决定）。

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状态是点，转移方程是边，DP就是在DAG上按拓扑序递推。

怎么实现？

第一步：开数组
根据状态定义，确定数组维度和大小。状态有几个参数，数组就开几维，若当前状态只关心上一级，可以用滚动数组。

第二步：写转移
按照转移方程，把递推关系写成代码。这一步没有固定格式，完全由方程决定。方程中引用的前置状态，在代码里就是对应的数组元素。

第三步：设起点
在循环开始前，把边界状态的设初值。初值决定了递推从哪里开始。

第四步：定顺序
设计循环的嵌套顺序，确保计算当前状态时，它依赖的所有前置状态都已经有了确定的值。不同类型的 DP 有不同的标准顺序：

DP 类型	遍历顺序
线性递推	下标从小到大
二维网格	行和列都从小到大
区间合并	区间长度从小到大，再枚举左端点
树形结构	从叶子向根递归（后序遍历）
集合状压	二进制掩码从小到大

如果状态定义中有“选/不选”且压缩了维度，顺序可能是倒序；如果是一般递推，顺序通常是正序。

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四步完成，DP 代码就成型了。

有哪些？

为什么要加这个版块呢？我解释一下（是个人都知道啊喂！）。

因为DP有很多种（说了跟说了一样），有线性DP、背包DP（01背包、完全背包）、区间DP、状压DP、数位DP、树形DP、动态DP（神一样的存在！） \(\cdots\)

接下来我会分多个NOTE来写每一个DP。

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