BZOJ_2194_快速傅立叶之二_(FFT+卷积)

描述

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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2194

给出序列\(a[0],a[1],...,a[n-1]\)和\(b[0],b[1],...,b[n-1]\).

\(c[k]=\sum_{i=k}^{n-1}a[i]b[i-k]\).

求序列\(c[]\).

 

分析

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这题就是BZOJ_3527_[ZJOI2014]_力_(FFT+卷积)的后半段...

我们来重新分析一下.

首先我们要知道卷积的标准形式:

$$c[i]=\sum_{j=0}^ia[j]b[i-j]$$

很明显这道题并不是卷积的形式,因为卷积是和一定,二这道题却是差一定.

我们其实可以画画图(我脑洞大)...

然后可以发现差一定的时候就是你+1,我也+1,你-1,我也-1.

但是如果我们把其中一个序列倒过来,就变成了你+1,我-1,你-1,我+1,就变成和一定的了!这一点灰常重要!

然后上次我推的那个太不自然,我们这次好好分析一下.

1.把a倒置.

把a倒置之前原式为(我们这里令\(n=n-1\),序列就是\(0~n\),方便一些)

$$\sum_{j=k}^na[i]b[i-k]$$

我们设倒置之后的序列为\(a'[]\),则有

$$原式\Longleftrightarrow\sum_{i=k}^na'[n-i][b[i-k]$$

换元,得到:

$$\sum_{i=0}^{n-k}a'[n-(i+k)]b[(i+k)-k]$$

即

$$\sum_{i=0}^{n-k}a'[n-i-k]b[i]$$

也就是:

$$c[k]=\sum_{i=0}^{n-k}a'[n-i-k]b[i]$$

如果我们设\(A[k]=\sum_{i=1}^ka'[k-i]b[i]\),那么就有:

$$c[k]=A[n-k]$$

这样我们求个卷积,然后倒过来输出就好了.

2.把b倒置

在网上看到好几篇题解都说是倒置b,但是自己推了好长时间都没有推出来,最后发现其中有一点奥妙...

倒置之前原式:

$$\sum_{i=k}^na[i]b[i-k]$$

我们设倒置之后的序列为\(b'[]\),则有:

$$原式\Longleftrightarrow\sum_{i=k}^na[i]b'[n-i+k]$$

换元,得到:

$$\sum_{i=0}^{n-k}a[i+k]b'[n_(i+k)+k]$$

也就是

$$\sum_{i=0}^{n-k}a[i+k]b'[n-i]$$.

可以发现和是定值\(n+k\),但是循环上界却只有\(n-k\).

我们想要得到的应该是:

$$\sum_{i=0}^{n+k}a[i+k]b'[n-i]$$.

我们得到的式子少了一部分.但是观察可以发现,我们得到的式子的循环上界是\(n-k\),对应\(a[n]b'[k]\).

继续向上的\(a[i]\)都为\(0\),而且都后的\(b[i]\)会越界(\(b[负数]\)).

所以这个就可以表示一个卷积了.

$$c[k]=\sum_{i=0}^{n+k}a[n+k-i]b'[i]$$

这个式子是根据原式表示一个卷积二构造出来的等价的式子,只是看起来比较方便而已.

我们设\(B[i]=\sum_{i=0}^ka[i]b[k-i]\).

这样就可以得到

$$c[k]=B[n+k]$$

 

倒置b的版本:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+5,maxn=N<<2;
const double pi=acos(-1.0);
int n;
int rev[maxn];
int f[N],f_[N],g[N],ans[N];
struct cp{
    double r,i;
    cp(double r=0,double i=0):r(r),i(i){}
    cp operator + (const cp &x) const { return cp(r+x.r,i+x.i); }
    cp operator - (const cp &x) const { return cp(r-x.r,i-x.i); }
    cp operator * (const cp &x) const { return cp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}a[maxn],b[maxn],A[maxn];
void brc(int &n){
    memset(rev,-1,sizeof rev);
    int k=1,l=0;
    while(k<n) k<<=1, l++;
    n=k;
    for(int i=1;i<n-1;i++){
        if(rev[i]!=-1) continue;
        int x=i,y=0,m=l;
        while(m--) y<<=1, y|=(x&1), x>>=1;
        rev[i]=y, rev[y]=i;
    }
}
void dft(cp *a,int n,int op){
    for(int i=1;i<n-1;i++) A[rev[i]]=a[i];
    for(int i=1;i<n-1;i++) a[i]=A[i];
    for(int m=2;m<=n;m<<=1){
        cp wn(cos(2.0*pi/m*op),sin(2.0*pi/m*op));
        for(int i=0;i<n;i+=m){
            cp w(1); int k=m>>1;
            for(int j=0;j<k;j++){
                cp u=a[i+j],t=w*a[i+j+k];
                a[i+j]=u+t;
                a[i+j+k]=u-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
    if(op==-1)for(int i=0;i<n;i++) a[i].r/=n;
}
void fft(int *x,int *y,int *ans,int la,int lb){
    int len=la+lb-1;
    brc(len);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=cp(x[i]), b[i]=cp(y[i]);
    dft(a,len,1); dft(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    dft(a,len,-1);
    for(int i=0;i<len;i++) ans[i]=a[i].r+0.5;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&f[i],&g[i]);
    for(int i=0;i<n;i++) f_[i]=g[n-1-i];
    fft(f,f_,ans,n,n);
    for(int i=n-1;i<n+n-1;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}