群

群

群的定义

设 \(G\) 是一个集合，\(G\) 上定义了一个二元运算 \(\cdot\)，满足以下条件：

1. 封闭性 (Closure): 对于 \(a, b \in G\)，有 \(a \cdot b \in G\)。
2. 结合性 (Associativity): 对于 \(a, b, c \in G\)，有 \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)。
3. 存在单位元 (Identity Element): 存在 \(e \in G\)，使得对任意 \(a \in G\)，有 \(a \cdot e = e \cdot a = a\)。
4. 存在逆元 (Inverse Element): 对于 \(a \in G\)，存在 \(a^{-1} \in G\)，使得 \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\)。

如果满足上述条件，则称 \(G\) 是一个 群 (Group)，记作 \(G = (G, \cdot)\)。

群的阶

1. 有限群的阶

若群 \(G\) 中元素的个数有限，则称 \(G\) 为 有限群，其元素的个数称为群的 阶，记作 \(|G|\) 或 \(\text{ord}(G)\)。

• 例如：
  • 整数模 \(n\) 加法群 \(\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, \dots, n-1\}\) 是有限群，阶为 \(|\mathbb{Z}_n| = n\)。
  • 对称群 \(S_3\)（3 个元素的置换群）有 6 个元素，阶为 \(|S_3| = 6\)。

2. 无限群的阶

若群 \(G\) 中元素的个数无限，则称 \(G\) 为 无限群，其阶记为 \(|G| = \infty\)。

• 例如：
  • 整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\) 是无限群，阶为 \(\infty\)。
  • 实数乘法群 \((\mathbb{R}^+, \times)\) 也是无限群。
    
    

阿贝尔群

设 \((G, \cdot)\) 是一个群，如果对任意 \(a, b \in G\)，有 \(a \cdot b = b \cdot a\)，则称 \(G\) 是一个 阿贝尔群 (Abelian Group)，记作 \(G = (G, \cdot)\)。

元素的阶

设 \(G\) 为群，\(e\) 为其单位元，\(a\) 是 \(G\) 中的任意元素：

1. 有限阶元素

若存在最小的正整数 \(n\)，使得 \(a^n = e\)（加法群中写作 \(na = e\)），则称 \(n\) 为元素 \(a\) 的阶，记作 \(\text{ord}(a) = n\)。

• 此时，由 \(a\) 生成的循环子群 \(\langle a \rangle = \{e, a, a^2, \dots, a^{n-1}\}\) 的阶为 \(n\)。

2. 无限阶元素

若不存在任何正整数 \(n\) 使得 \(a^n = e\)，则称 \(a\) 的阶为无限大，记作 \(\text{ord}(a) = \infty\)。

循环群

循环群的定义

设 \((G, \cdot)\) 是一个群，若存在某个元素 \(a \in G\)，使得 \(G\) 中每个元素都可以表示为 \(a\) 的整数次幂（乘法群）或整数倍（加法群），则称 \(G\) 为 循环群，并称 \(a\) 为 \(G\) 的一个 生成元 (Generator)。

用符号表示为：

• 对于乘法群：\(G = \langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}\)，
• 对于加法群：\(G = \langle a \rangle = \{na \mid n \in \mathbb{Z}\}\)。

群同构

设 \(G, G'\) 是两个群，如果存在一个映射 \(f: G \to G'\)，使得

\[f(ab) = f(a)f(b) \]

对于所有的 \(a, b \in G\) 都成立，那么就说 \(f\) 是 \(G\) 到 \(G'\) 上的一个同态映射。

• 如果 \(f\) 是满射，那么就说 \(f\) 是满同态，用符号 \(G \sim G'\) 表示，称 \(G'\) 是 \(f\) 下的同态像。
• 如果 \(f\) 是单射，那么就说 \(f\) 是单同态。
• 如果 \(f\) 是一一映射，那么就说 \(f\) 是同构映射，此时称这两个群同构，用符号 \(G \cong G'\) 表示。
  
  

定理：
假定群 \(G\) 是一个由元 \(a\) 所生成的循环群：

• 当 \(a\) 的阶是无限时，那么 \(G \cong (\mathbb{Z}, +)\)。
• 当 \(a\) 的阶是一个有限整数 \(n\)，那么 \(G \cong (\mathbb{Z}_n, +)\)。

子群、子群的陪集

子群

设 \(H\) 是群 \((G, \circ)\) 的一个非空集合。如果 \(H\) 对于群 \(G\) 的运算 \(\circ\) 也做成群，则说 \(H\) 是群 \(G\) 的子群。用符号 \(H \leq G\) 表示。

• 给定任意一个群 \(G\) 至少有两个子群：\(G\) 和 \(\{e\}\)。这两个子群称为 \(G\) 的平凡子群，其他的子群称为 \(G\) 的非平凡子群。
• 如果群 \(G\) 的子群 \(H\) 满足 \(G \neq H\)，则称 \(H\) 是群 \(G\) 的真子群。
• 若 \(H\) 是 \(G\) 的子群，则 \(H\) 的单位元和 \(G\) 的单位元相同。

定理

• 设 \(H\) 是群 \(G\) 的非空子集，那么 \(H\) 做成 \(G\) 的一个子群的充分必要条件是：对于任意的 \(a, b \in H\)，有 \(ab^{-1} \in H\)。
• 循环群的子群仍然是循环群。
• 若 \(G = \langle a \rangle\) 是 \(n\) 阶循环群，则任给 \(a^i \in G\)，\(0 \leq i \leq n-1\)，循环子群 \(H = \langle a^i \rangle\) 的阶是 \(\frac{n}{(n, i)}\)。

子群的陪集

若 \(H\) 是 \(G\) 的子群，对任意的 \(a \in G\)，称集合 \(aH = \{ah \mid h \in H\}\) 为子群 \(H\) 的左陪集，称集合 \(Ha = \{ha \mid h \in H\}\) 为子群 \(H\) 的右陪集。

定理1
设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群。给定 \(H\) 的任意左陪集 \(aH, bH\)，则要么 \(aH = bH\)，要么 \(aH \cap bH = \emptyset\)。

由上述定理，群 \(G\) 可以划分为两两不同的左陪集的并，这就给了群 \(G\) 的一个划分。该划分确定了 \(G\) 上的如下等价关系：对于任意的 \(a, b \in G\)，

\[a \sim b \iff a^{-1}b \in H. \]

定理2
若 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，则 \(G\) 关于子群 \(H\) 的左陪集和右陪集的个数一定相等。

指数

一个群 \(G\) 的一个子群 \(H\) 的右陪集或者左陪集的个数叫做 \(H\) 在 \(G\) 里的指数，记为 \([G : H]\)，其中 \([G : 1]\) 表示 \(G\) 的阶。

定理1
设 \(G\) 是一个有限群，\(H\) 是一个有限群 \(G\) 的子群，那么

\[[G : 1] = [G : H][H : 1] \]

定理2
一个有限群 \(G\) 的任意一个元素 \(a\) 的阶都整除 \(G\) 的阶。

推论1
设 \(a, m\) 是两个整数，并且 \((a, m) = 1\)。那么 $$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}, $$这里 \(\varphi(m)\) 是欧拉函数。

推论2
设 \(G\) 是 \(n\) 阶循环群，\(d \mid n\)。那么存在且仅存在一个阶数是 \(d\) 的子群。

群的同态

不变子群

设 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，如果对于任意的 \(a \in G\)，都有 \(aH = Ha\)，那么就说 \(H\) 是 \(G\) 的一个不变子群或者正规子群，记为 \(H \triangleleft G\)。

定理1
设 \(H \leq G\)。那么下面四个条件是等价的：

1. \(H\) 是 \(G\) 的正规子群。
2. 对于任意的 \(a \in G\)，都有 \(aHa^{-1} = H\)。
3. 对于任意的 \(a \in G\)，都有 \(aHa^{-1} \subseteq H\)。
4. 对于任意的 \(a \in G\) 和任意的 \(h \in H\)，都有 \(aha^{-1} \in H\)。

定理2
设 \(H \triangleleft G\)，那么 \((G/H, \circ)\) 是一个群。

商群

群 \(G\) 的正规子群 \(H\) 的陪集所作成的群叫做商群，记为 \(G/H\)。

定理
一个群 \(G\) 同它的每一个商群 \(G/H\) 同态。

核

设 \(\phi\) 是群 \(G\) 到群 \(G'\) 的同态满射。群 \(G'\) 的单位元 \(e' \in G'\) 在 \(\phi\) 作用下的逆像为 \(G\) 的子集，该子集称为同态满射 \(\phi\) 的核，记作 \(\ker \phi\)，也就是说，\(\ker \phi = \phi^{-1}(e')\)。

群 \(G\) 的所有元素 \(a \in G\) 在 \(\phi\) 作用下的像为 \(G'\) 的子集，该子集称为同态满射 \(\phi\) 的像，记作 \(\mathit{Im} \, \phi\)。

定理1
若 \(\phi\) 是群 \(G\) 到 \(G'\) 的同态满射，则 \(\ker \phi\) 是 \(G\) 的正规子群。

定理2
若 \(\phi\) 是群 \(G\) 到 \(G'\) 的同态满射，则 \(\mathit{Im} \, \phi\) 是 \(G'\) 的子群。

定理3
若 \(\phi\) 是群 \(G\) 到 \(G'\) 的同态满射，则

\[G / \ker \phi \cong G'. \]

定理4（群同态基本定理）
设 \(G\) 是一个群，则 \(G\) 的任意商群都是 \(G\) 的同态像。反之，若 \(G'\) 是 \(G\) 的同态像（即 \(G' = f(G)\)），那么 \(G' \cong G / \ker f\)。