01背包和完全背包

此题之前先分析两种常见的背包问题，01背包与完全背包

01背包：在M件物品中取出若干件物品放到背包中，每件物品对应的体积v1,v2,v3,....对应的价值为w1,w2,w3,,,,，每件物品之多拿一件。

解决方案

　　考虑用动态规划的方法来解决，这里的：

　　阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中； 　　状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；

　　决策是：第N件物品放或者不放； 　

　

　由此可以写出动态转移方程：

　　我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值

　　f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi (j>=Wi), f[i-1,j]} <1>

　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。

可优化成一维数组的表达式

　 for(i=1;i<=m;++i) <2>

　 for(v=V;v>=0;v--)

 if(v>=c[i])

　 f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};

这里一定要注意次序，如果第二个for循环依次增大，则不能与<1>等价，因为f[v],f[v-c]的值不是类似于f[i-1][v],f[i-1][v-c]，不信自己可以举例试试，比如2个物品，体积为2,4；价值为1,3；如果顺序，定会出现错误。

最优解法—O(VN)

　　for i=1..N

　　for j=0..V

　　f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}

　　你会发现，这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？

　　首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[v]是由状态f[v-c]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个没有已经选入第i件物品的子结果f[v-c]。

　　而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[v-c]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。